Симплектичний метод побудови ергодичних мір на інваріантних підмноговидах неавтономних гамільтонових систем: лагранжеві многовиди, їх структура та гомології Мазера

Abstract

Розвивається новий підхід до вивчення властивостей ергодичних Mip для неавтономних періодичних гамільтонових потоків на симплектичних многовидах, які використовуються в багатьох задачах механіки та математичної фізики. ґрунтуючись на результатах Дж. Мазера про гомології інваріантних ймовірнісних мір, що мінімізують деякі лагранжеві функціонали, а також на симплектичній теорії, розвиненій А. Флоером та іншими для дослідження симплектичних дій і трансверсальних перетинів лагранжевих многовидів, запропоновано аналог β-функції типу Мазера для вивчення ергодичних мір, асоційованих з неавтономними гамільтоновими системами на слабко точних симплектичних многовидах. Деякі результати про стійкі та нестійкі многовиди до гіперболічних інваріантних множин, що застосовуються в теорії адіабатичних інваріантів повільно збурених інтегровних гамільтонових систем, встановлено в рамках еліптичних методів Громова - Саламона - Зендера в симплектичній геометрії.

We develop a new approach to the study of properties of ergodic measures for nonautonomous periodic Hamiltonian flows on symplectic manifolds, which are used in many problems of mechanics and mathematical physics. Using Mather’s results on homologies of invariant probability measures that minimize some Lagrangian functionals and the symplectic theory developed by Floer and others for the investigation of symplectic actions and transversal intersections of Lagrangian manifolds, we propose an analog of a Mather-type ?-function for the study of ergodic measures associated with nonautonomous Hamiltonian systems on weakly exact symplectic manifolds. Within the framework of the Gromov-Salamon-Zehnder elliptic methods in symplectic geometry, we establish some results on stable and unstable manifolds for hyperbolic invariant sets, which are used in the theory of adiabatic invariants of slowly perturbed integrable Hamiltonian systems.