Функцiя Грiна рiвняння Гельмгольца для нескiнченної прямої жорсткостiнної труби кругового поперечного перерiзу з осередненою течiєю

Abstract

Побудовано функцiю Грiна тривимiрного рiвняння Гельмгольца для нескiнченної прямої жорсткостiнної труби кругового поперечного перерiзу з осередненою течiєю. Ця функцiя записується у виглядi ряду за акустичними модами зазначеної труби i є перiодичною за азимутальною координатою та симетричною вiдносно осьового перерiзу, в якому розташоване точкове джерело. Крiм того, в нiй у явному виглядi вiдображенi ефекти осередненої течiї. Цi ефекти стають вагомiшими зi збiльшенням числа Маха течiї, зумовлюючи, зокрема, появу i подальше збiльшення асиметрiї функцiї Грiна вiдносно поперечного перерiзу, в якому знаходиться точкове джерело. I навпаки, зi зменшенням числа Маха вагомiсть впливу осередненої течiї на зазначену функцiю зменшується, спричиняючи, окрiм iншого, зменшення вказаної її асиметрiї. У випадку ж вiдсутностi осередненої течiї побудована функцiя Грiна є симетричною вiдносно вказаного поперечного перерiзу i збiгається з вiдповiдною функцiєю Грiна для дослiджуваної труби, яка наведена в науковiй лiтературi.

Построена функция Грина трехмерного уравнения Гельмгольца для бесконечной прямой жосткостенной трубы кругового поперечного сечения с осредненным течением. Эта функция записывается в виде ряда по акустическим модам указанной трубы и является периодической по азимутальной координате и симметричной относительно осевого сечения, в котором расположен точечный источник. Кроме этого, в ней в явном виде отражены эффекты осредненного течения. Эти эффекты становятся более существенными с увеличением числа Маха течения, вызывая, в частности, появление и дальнейшее увеличение асимметрии функции Грина относительно поперечного сечения, в котором находится точечный источник. И наоборот, с уменьшением числа Маха весомость влияния осредненного течения на указанную функцию уменьшается, приводя, кроме прочего, к уменьшению указанной асимметрии. В случае же отсутствия осредненного течения построенная функция Грина является симметричной относительно указанного поперечного сечения и совпадает с соответствующей функцией Грина для исследуемой трубы, приведенной в научной литературе.

Green’s function of the three-dimensional Helmholtz equation for an infinite straight rigid-walled pipe of circular cross-section with mean flow is found. This function is written in terms of a series of the pipe acoustic modes and is periodic in the azimuthal coordinate and symmetric with respect to the axial section, where a point source is located. Apart from this, the mean flow effects are directly reflected in the function. The effects become more significant as the Mach number increases, causing, in particular, the appearance and a further growth of the Green’s function asymmetry with respect to the cross-section of the point source location. Vice versa, the decrease of the Mach number results in a decrease of the effects and, in particular, a decrease of the indicated asymmetry of the function. Without the mean flow, the obtained Green’s function is symmetric with respect to the indicated cross-section and coincides with the corresponding Green’s function for the investigated pipe, which is available in the scientific literature.