Некоторые приложения смешанного метода конечных элементов к решению задач механики деформируемого твердого тела

Abstract

Проведено аналіз та розглянуто застосування змішаного методу скінченних елементів для розв’язання прикладних задач механіки деформованого твердого тіла. Розвинуто загальну теорію змішаних проекційно-сіткових алгоритмів. Досліджено коректність змішаного методу в задачах теорії пружності, пластичності, коливань, і на цій основі сформульовано умови, що забезпечують стійкість і збіжність змішаних апроксимацій для напружень, деформацій і переміщень. Побудовано спеціальний скінченний елемент для розв’язання двовимірних і вісесиметричних задач. Для розв’язання задач про згин, коливання і стійкість пластинчастих конструкцій побудовано новий гібридний скінченний елемент на основі трикутника Зінкевича. Математичне обґрунтування збіжності і стійкості змішаної апроксимації доповнено чисельним аналізом.

The paper is devoted to the analysis and use of the mixed finite–element method (FEM) to solve applied problems of solid mechanics. A general theory of mixed projection-mesh algorithms is developed. The reasonableness of the mixed method for elasticity, plasticity, and vibration problems is investigated and is used to formulate the conditions that ensure the stability and convergence of the mixed approximation for displacements, strains, and stresses. A special triangular finite element is designed for two-dimensional and axisymmetric problems. To solve problems of the bending, vibration, and stability of plates, a new hybrid finite element based on the Zienkiewicz triangle is proposed. The mathematical justification of the stability and convergence of the mixed approximation is supplemented with a numerical analysis, which confirms the efficiency of the developed algorithms.