Варіаційні постановки та дискретизація крайової задачі теорії пружності із заданими на границі області напругами

Abstract

Розглянуто рівняння пружної рівноваги тіл у переміщеннях із заданими на поверхні тіла напругами. Зазначена задача не має єдиного розв’язку на всьому просторі вектор-функцій, де він існує. В роботі запропоновано і досліджено дві варіаційні задачі для розглядуваної статичної задачі теорії пружності з єдиним розв’язком на всьому просторі. Математичним апаратом дослідження слугує один із варіантів нерівності Корна, доведеної у статті. Розглянуто питання дискретизації цих варіаційних задач методом скінченних елементів і збіжності дискретних розв’язків.

Рассмотрены уравнения упругого равновесия тел в перемещениях с заданными на поверхности тела напряжениями. Такая задача не имеет единственного решения на всем пространстве вектор-функций, где оно существует. В работе предложены и исследованы две вариационные задачи для рассматриваемой статичной задачи теории упругости с единственным решением на всем пространстве. Математическим аппаратом исследования служит один из вариантов неравенства Корна, доказанного в статье. Рассмотрен вопрос дискретизации этих вариационных задач методом конечных элементов и сходимости дискретных решений.

The equations of elastic equilibrium of bodies in displacements with the stresses set on the surface of the body are considered. Under the conditions that ensure the solution of this boundary-value problem, its solution will be unique in the whole space of vector functions where it exists. Two variational problems for the considered static problem of the theory of elasticity with a unique solution in the whole space are proposed and investigated. The mathematical apparatus of the study is one of the variants of the Korn inequality that is proved in the article. Discretization of these variational problems by the finite-element method and convergence of discrete solutions is considered.