Кластеризация совокупности составных нечетких чисел на основе множеств скалярного и векторного уровней

Abstract

Предложен новый способ формализации нечеткости в виде составных нечетких чисел. Рассмотрена аксиоматика такого представления, введено понятие множеств скалярного и векторного уровней, сформулированы процедуры для вычисления расстояний между данными. На основе разработанных моделей и методов рассмотрены и решены задачи группирования состояний нечеткой системы, описанных совокупностью составных нечетких чисел, на основе множеств скалярного и векторного уровня. Основная идея разработанных алгоритмов кластеризации состоит в вычислении и использовании значений расстояния между элементами соответствующих множеств заданного скалярного или векторного уровня с учетом величины погрешности, которая определяется на прямоугольной сетке, накрывающей множество исходных данных. Предложенные алгоритмы позволяют формализовать поиск кластерных центров совокупности составных нечетких чисел и реализовать процедуры группирования данных в пределах предварительно заданного или автоматически сгенерированного по ходу алгоритма количества кластеров. Рассмотрены условия наиболее оптимального использования алгоритмов кластеризации. Предложенный подход является модификацией существующих методов кластеризации, адаптированных к обработке нечетких данных специального вида. Приведены примеры использования данного подхода при решении практических задач, проанализированы результаты численных экспериментов.

Запропоновано новий спосіб формалізації нечіткості у вигляді складових нечітких чисел. Розглянуто аксіоматику такого представлення, введено поняття множин скалярного і векторного рівнів, сформульовано процедури для розрахунку відстаней між даними. На основі розроблених моделей і методів розглянуто системи, що складаються з сукупності нечітких чисел, на основі множин скалярного і векторного рівня. Основна ідея розроблених алгоритмів кластеризації складається з наступних варіантів: обчислення і векторний рівень з урахуванням даних похибки, яка визначається на прямокутній сітці, що накриває множину вихідних даних. Запропоновані алгоритми дозволяють формалізувати пошук кластерних центрів сукупності складових нечітких чисел і реалізувати процедури групування даних в межах заздалегідь визначеної або автоматично згенерованої по ходу алгоритму кількості кластерів. Розглянуто умови оптимального використання алгоритмів кластеризації. Запропонований підхід є модифікацією всіх методів кластеризації, адаптованих до обробки нечітких даних спеціального виду. Наведено приклади використання даного підходу при вирішенні практичних завдань, проаналізовано результати числових експериментів.

A new method for formalizing fuzziness in the form of composite fuzzy numbers is proposed. The axiomatics of such representation is considered, the notion of sets of scalar and vector levels is introduced, procedures for calculating distances between data are formulated. On the basis of the developed models and methods, the problems of grouping the states of a fuzzy system described by a set of composite fuzzy numbers on the basis of sets of scalar and vector levels are considered and solved. The main idea of the developed clustering algorithms is to calculate and use the distance values between the elements of the corresponding sets of a given scalar or vector level, taking into account the error value, which is determined on a rectangular grid covering a set of initial data. The proposed algorithms allow us to formalize the search for cluster centers of a set of composite fuzzy numbers and implement the procedures for grouping data within a predetermined or automatically generated number of clusters during the course of the algorithm. Conditions for constructive use of clustering algorithms are considered. The proposed approach is a modification of existing clustering methods, adapted to processing of fuzzy data of a special kind. Examples of the use of this approach in solving practical problems are given, and the results of numerical experiments are analyzed.