Адаптивні алгоритми для задач про рівновагу в просторах Адамара

Abstract

Одним із популярних напрямів сучасного прикладного нелінійного аналізу є дослідження задач про рівновагу (нерівностей Кі Фаня, задач рівноважного програмування). У вигляді задачі про рівновагу можна сформулювати задачі математичного програмування, задачі векторної оптимізації, варіаційні нерівності та багато ігрових задач. Класичне формулювання задачі про рівновагу вперше з'явилося в роботах Х. Нікайдо та К. Ісоди, а перші загальні алгоритми проксимального типу для розв'язання задач про рівновагу запропонував А.С. Антипін. Останнім часом виник обумовлений проблемами математичної біології та машинного навчання інтерес до побудови теорії та алгоритмів розв'язання задач математичного програмування в метричних просторах Адамара. Ще однією сильною мотивацією для дослідження даних задач є можливість записати деякі неопуклі задачі у вигляді опуклих у просторі зі спеціально підібраною метрикою. У роботі розглядаються загальні задачі про рівновагу в метричних просторах Адамара. Для наближеного розв'язання задач запропоновано та досліджено нові адаптивні двоетапні проксимальні алгоритми. На кожному кроці алгоритмів слід здійснити послідовну мінімізацію двох спеціальних сильно опуклих функцій. На відміну від правил вибору величини кроку, що застосовувалися раніше, у запропонованих алгоритмах не обчислюються значення біфункції в додаткових точках та не потрібно знання інформації про величину ліпшицевих констант біфункції. Для псевдомонотонних біфункцій ліпшицевого типу, слабко напівнеперервних зверху по першій змінній, опуклих та напівнеперервних знизу по другій змінній, доведені теореми про слабку збіжність породжених алгоритмами послідовностей. Доведення засновані на використанні фейєрівської властивості алгоритмів відносно множини розв'язків задачі про рівновагу. Показано, що запропоновані методи можна застосувати до варіаційних нерівностей з ліпшицевими, секвенційно слабко неперервними та псевдомонотонними операторами, що діють у гільбертових просторах.

One of the most popular areas of modern applied nonlinear analysis is the study of equilibrium problems (Ky Fan inequalities, equilibrium programming problems). In the form of an equilibrium problem, one can formulate mathematical programming problems, vector optimization problems, variational inequalities, and many game theory problems. The classical formulation of the equilibrium problem first appeared in the works by H. Nikaido and K. Isoda, and the first general proximal algorithms for solving the equilibrium problems were proposed by A.S. Antipin. Recently, the interest has arisen in the problems of mathematical biology and machine learning to construct the theory and algorithms for solving mathematical programming problems in Hadamard metric spaces. Another strong motivation for studying these problems is the ability to write down some non-convex problems in the form of convex ones in a space with specially selected metric. In this paper, we consider general equilibrium problems in Hadamard metric spaces. For an approximate solution of problems, new iterative adaptive two-stage proximal algorithms are proposed and studied. At each step of the algorithms, the sequential minimization of two special strongly convex functions should be done. In contrast to the previously used rules for choosing the step size, the proposed algorithms do not calculate bifunction values at additional points and do not require knowledge of the information on of bifunction’s Lipschitz constants. For pseudo-monotone bifunctions of the Lipschitz type, weakly upper semicontinuous in the first variable, convex and lower semicontinuous in the second variable, the theorems on weak convergence of sequences generated by the algorithms are proved. The proof is based on the use of the Fejer property of the algorithms with respect to the set of solutions of equilibrium problem. It is shown that the proposed algorithms are applicable to variational inequalities with Lipschitz-continuous, sequentially weakly continuous and pseudomonotone operators acting in Hilbert spaces.