Об артиновых кольцах, удовлетворяющих условиям энгелевости

Abstract

Доведено, що група R∘ тоді і тільки тоді нільпо-тентна, коли вона енгелева і фактор-кільце кільця R по його радикалу Джекобсона комутативне. Зокрема, R∘ нільпотентна, якщо вона слабко нільпотентна або n-енгелева для деякого додатного цілого числа n. Також встановлено, що кільце R строго Лі-нільпотентне тоді і тільки тоді, коли воно енгелеве і фактор-кільце кільця R по його радикалу Джекобсона комутативне.

Let R be an Artinian ring, not necessarily with a unit element, and let R∘ be the group of all invertible elements of R under the operation a∘b=a+b+ab. We prove that R∘ is a nilpotent group if and only if it is an Engel group and the ring R modulo its Jacobson radical is commutative. In particular, the group R∘ is nilpotent if it is weakly nilpotent or n-Engel for some positive integer n. We also establish that R is a strictly Lie-nilpotent ring if and only if R is an Engel ring and R modulo its Jacobson radical is commutative.