Автоматична неперервність, базиси і радикали в метризовних алгебрах

Abstract

Доказывается автоматическая непрерывность линейного мультипликативного оператора T:X→Y, где X,Y — действительные полные метрнзуемые алгебры, причем Y полупростая. Показано, что комплексная алгебра Фрепш с безусловным ортогональным базисом (xi) (ортогональным в том смысле, что xixj=0 при i≠j) является коммутативной симметричной алгеброй с инволюцией. Отсюда выводится известный результат о том, что каждый мультипликативный линейный функционал на такой алгебре непрерывен. Вводится понятие ортогонального базиса Маркушевича в топологической алгебре и с его помощью показывается, что для любого замкнутого подпространства Y сепарабельного банахова пространства X на X можно ввести коммутативное умножение, радикалом которого будет Y. Доказывается одна теорема об автоматической непрерывно ти положительных функционалов.

The automatic continuity of a linear multiplicative operator T: X→Y, where X and Y are real complete metrizable algebras and Y semi-simple, is proved. It is shown that a complex Frechét algebra with absolute orthogonal basis (xi) (orthogonal in the sense that xixj=0 if i ≠ j) is a commutative symmetric involution algebra. Hence, we are able to derive the well-known result that every multiplicative linear functional defined on such an algebra is continuous. The concept of an orthogonal Markushevich basis in a topological algebra is introduced and is applied to show that, given an arbitrary closed subspace Y of a separable Banach space X, a commutative multiplicative operation whose radical is Y may be introduced on X. A theorem demonstrating the automatic continuity of positive functionals is proved.