FD-метод у спектральних задачах для оператора Шрьодiнгера з полiномiальним потенцiалом на (−∞,∞)

Abstract

Особливiстю задач, якi розглядаються, є необмеженiсть промiжку iнтегрування i необмеженiсть полiномiального потенцiалу в операторi Шрьодiнгера, що обумовило вiдсутнiсть у лiтературi обгрунтованих наближених методiв їх розв’язування. У роботi запропоновано функцiонально-дискретний (FD) метод з вiдповiдним обгрунтуванням, який дає можливiсть одержувати розв’язок iз будь-якою наперед заданою точнiстю. Результати, зокрема, можуть бути використанi для знаходження основних та збуджених енергетичних станiв, а також щiльностi ймовiрностей квантово-механiчних ангармонiк i осциляторiв iз подвiйною потенцiальною ямою.

Особенностью рассматриваемых задач является неограниченность интервала интегрирования и неограниченность полиномиального потенциала в операторе Шрёдингера, что обусловило отсутствие в литературе обоснованных приближенных методов их решения. В работе предложен функционально-дискретный (FD) метод с соответствующим обоснованием, дающий возможность получать решение с любой предварительно заданной точностью. Результаты, в частности, могут быть использованы для нахождения основных и возбужденных энергетических состояний, а также плотности вероятностей квантово-механических ангармоник и осцилляторов с двойной потенциальной ямой.

The boundary-value problem under study has two distinctive features: its integration interval is infinite, and the polynomial potential is unbounded. As a consequence, there is no justified numerical solution methodology available in the literature. This article offers one. We apply the Functionally- Discrete (FD) method to the mentioned problem and supply the justification of its convergence. The proposed method enables one to obtain the numerical solution to the problem with an arbitrarily prescribed precision. Among other areas, the results of this work can be applied to calculate the quantum anharmonic oscillator energy states (ground and excited), as well as the energy states of the oscillators with double-well potential.