О корректности задачи нелинейной регрессии при природных и рукотворных объектов

Abstract

Розглянуто нелінійні моделі моніторингу, які побудовано на основі суперпозиції осциляторів з вільними параметрами, даними спостережень, як задачі нелінійної регресії. Для вибраних нелінійних математичних моделей з’ясовано питання, пов’язані з існуванням розв’язку, його єдиністю і стійкістю залежно від початкових даних. Остання обставина особливо важлива, оскільки алгоритми, побудовані на підставі цих моделей, орієнтовані на безпосередню обробку польових спостережень, що означає залежність від характеристик вимірювальної апаратури, помилок виміру і супутнього фону перешкод. Для побудови оптимальних оцінок параметрів моделі запропоновано відокремлення лінійних і нелінійних параметрів з метою оптимізації процесу обчислення. Під час пошуку квазіоптимальних розв’язків такий розподіл дає змогу використовувати тільки нелінійні вільні параметри для симуляції в методі Монте-Карло. Параметри, що входять лінійно, визначають розв’язком системи лінійних рівнянь. Таким чином, розмірність завдання пошуку оптимальних оцінок зменшується на розмірність вектора лінійних параметрів.

Under consideration there is a compliance with observed data and nonlinear models of monitoring. These models are based on superposition of oscillators with free parameters. Optimal estimation of free parameters of model which enter into model both linearly and nonlinearly, we shall consider as a problem of nonlinear regression. The optimality is understood in sense of a global minimum of an objective functional. The point in space of possible values of free parameters of model in which criterion has a global minimum is accepted as the optimal solution of a problem. For the chosen nonlinear mathematical models it is necessary to find out the questions connected with existence of the solution, its uniqueness, and stability of the solution depending on initial data. The last circumstance is especially important, as the algorithms constructed on the basis of these models, are concentrated on direct processing of field supervision. It means dependence on characteristics of the measuring equipment, errors of measurement and to accompanying by background noises. Separation of linear and nonlinear parameters with the purpose of calculation process optimization is offered for construction of optimal estimations model parameters. By search quasi-optimal solutions such division allows to use for the Monte-Carlo technique simulation only nonlinear parameters. Linearly entering parameters are defined by the solution of system of the linear equations. Thus, dimension of a search problem of optimal estimations is decreased on a size of a linear parameters vector dimension.

Рассмотрены нелинейные модели мониторинга, построенные на основе суперпозиции осцилляторов со свободными параметрами, наблюденными данными как задачи нелинейной регрессии. Для выбранных нелинейных математических моделей выясняются вопросы, связанные с существованием решения, его единственностью и устойчивостью в зависимости от начальных данных. Последнее обстоятельство особенно важно, поскольку алгоритмы, построенные на основании этих моделей, ориентированы на непосредственную обработку полевых наблюдений, что означает зависимость от характеристик измерительной аппаратуры, ошибок измерения и сопутствующего фона помех. Для построения оптимальных оценок параметров модели предлагается разделение линейных и нелинейных параметров c целью оптимизации процесса вычисления. При поиске квазиоптимальных решений такое разделение позволяет использовать только нелинейные свободные параметры для симулирования в методе Монте-Карло. Линейно входящие параметры определяются решением системы линейных уравнений. Таким образом, размерность задачи поиска оптимальных оценок уменьшается на размерность вектора линейных параметров.