Изгибные колебания упругих прямоугольных пластин со свободными краями: от Хладни (1809) и Ритца (1909) до наших дней

Abstract

Рассмотрена классическая задача о колебаниях пластины со свободными краями. На основе метода суперпозиции ее решение сведено к однородной квазирегулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. С помощью достаточного условия существования ограниченного решения для квазирегулярной системы найдены собственные частоты колебаний пластины. Для них на основе анализа асимптотического поведения неизвестных построены нетривиальные решения системы, позволяющие получить аналитические представления собственных форм колебаний. Исследована точность выполнения однородных граничных условий, проведено сравнение теоретических данных с экспериментальными.

Розглянуто класичну задачу про коливання пластини з вільними краями. На базі методу суперпозиції її розв'язання зведено до однорідної квазирегулярної нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. За допомогою достатньої умови існування обмеженого розв'язку для квазирегулярної системи знайдені власні частоти коливань пластини. Для них на базі аналізу асимптотичної поведінки невідомих побудовані нетривіальні розв'язки системи, які дозволяють одержати аналітичні представлення власних форм коливань. Досліджено точність виконання однорідних граничних умов, проведено порівняння теоретичних даних з експериментальними.

A classic problem on vibration of the plate with free edges has been considered. On the base of the superposition method, its solving has been reduced to a homogeneous quasiregular infinite system of linear algebraic equations. Plate's eigenfrequencies have been found using the sufficient condition for existence of a limited solution of a quasiregular system. The nontrivial solutions of the system corresponding to these frequencies have been constructed by analyzing the asymptotic behavior of the unknown values, that allow the obtaining of analytical representations for vibration eigenforms. The accuracy of satisfying of the homogeneous boundary conditions has been studied and theoretical data have been compared with the experimental ones.