До теореми Скитовича–Дармуа на a-адичних соленоїдах

Abstract

Нехай X — компактна зв’язна абелева група. Вiдомо, що iснують топологiчнi автоморфiзми αj, βj групи X та незалежнi випадковi величини ξ₁ та ξ₂ зi значеннями в X та розподiлами μ₁, μ₂ такими, що лiнiйнi форми L₁ = α₁ξ₁ + α₂ξ₂ та L₂ = β₁ξ₁ + β₂ξ₂ незалежнi, але μ₁ та μ₂ не є згортками гауссiвських та iдемпотентних розподiлiв. Доведено, що iснують компактнi зв’язнi абелевi групи X, якi мають таку властивiсть: iз незалежностi трьох лiнiйних форм вiд трьох незалежних випадкових величин зi значеннями в X випливає, що якнайменш один розподiл є iдемпотентним. Такими групами є деякi a-адичнi соленоїди.

Пусть X — компактная связная абелева группа. Известно, что существуют топологические автоморфизмы αj, βj группы X и независимые случайные величины ξ₁ и ξ₂ со значениями в X и распределениями μ₁, μ₂ такими, что линейные формы L₁ = α₁ξ₁ + α₂ξ₂ и L₂ = β₁ξ₁ + β₂ξ₂ независимы, но μ₁ и μ₂ не являются свертками гауссовских и идемпотентных распределений. Доказано, что существуют компактные связные абелевы группы X, обладающие следующим свойством: из независимости трех линейных форм от трех независимых случайных величин со значениями в X вытекает, что по крайней мере одно распределение является идемпотентным. Такими группами являются некоторые a-аддические соленоиды.

Let X be a compact connected Abelian group. It is known that then there exist topological automor- phisms ξ₁, ξ₂ of X and independent random variables ξ₁ and ξ₂ with values in X and distributions μ₁, μ₂ such that the linear forms L₁ = α₁ξ₁ + α₂ξ₂ and L₂ = β₁ξ₁ + β₂ξ₂ are independent, but μ₁ and μ₂ are not represented as convolutions of Gaussian and idempotent distributions. We prove that there exist compact connected Abelian groups X having the following property: the independence of three linear forms of three independent random variables with values in X implies that at least one of the distributions is idempotent. These groups are some a-adic solenoids.