Сильная и ослабленная локализация решений квазилинейных параболических уравнений

Abstract

Изучена задача Коши–Дирихле для широкого класса квазилинейных параболических уравнений: ut −Δu+g(t)|u|^q−1u = 0, 0 < q < 1, где g(t) — непрерывный положительный при t > 0 абсорбционный потенциал, который вырождается при t = 0: g(0) = 0. Найдены точные достаточные условия для сильной локализации решений (т. е. непрерывность распространения носителя вблизи t = 0). Эти условия сформулированы в виде подчиненности граничного режима абсорбционному потенциалу. Для произвольного граничного режима (без каких-либо условий подчиненности) установлена ослабленная локализация решений. Доказано, что при некоторых ограничениях на характер вырождения потенциалов эффект строгой локализации имеет место при произвольных граничных режимах (в том числе и не удовлетворяющих никаким условиям подчиненности).

Дослiджено задачу Кошi–Дiрiхле для широкого класу квазiлiнiйних параболiчних рiвнянь: ut −Δu+g(t)|u|^q−1u = 0, 0 < q < 1, де g(t) — неперервний додатний для t > 0 абсорбцiйний потенцiал, що вироджується при t = 0: g(0) = 0. Знайдено точнi достатнi умови для сильної локалiзацiї розв’язкiв (тобто неперервнiсть розповсюдження носiя в околi t = 0). Цi умови сформульовано у виглядi пiдпорядкованостi крайового режиму абсорбцiйному потенцiалу. Для довiльного крайового режиму (без будь-яких умов пiдпорядкованостi) встановлено послаблену локалiзацiю розв’язкiв. Доведено, що при деяких обмеженнях на характер виродження потенцiалiв ефект сильної локалiзацiї має мiсце при довiльних крайових режимах (навiть для тих, що не задовольняють нiякi умови пiдпорядкованостi).

We investigate the Cauchy–Dirichlet problem for a wide class of quasilinear parabolic equations ut −Δu+g(t)|u|^q−1u = 0, 0 < q < 1, where the continuous absorption potential g(t) is positive for t > 0 and degenerates at t = 0: g(0) = 0. We find sufficient conditions for the strong localization of solutions (i. e., continuous propagation of a support near t = 0). These conditions are formulated as a subordination of the boundary regime to the absorption potential. For an arbitrary boundary regime (without any subordination conditions), a certain type of weakened localization is obtained. Under some restriction from below on the degeneration of the potential, the strong localization holds for an arbitrary boundary regime (including regimes that do not satisfy any conditions of subordination).