Оценка влияния демпфирующего момента на устойчивость равномерных вращений несимметричного гироскопа

Abstract

Рассмотрена задача о влиянии демпфирующего момента на устойчивость вращений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой вокруг главной оси инерции, несущей центр масс. Найдены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости изучаемого движения, которые налагают ограничения на распределение масс в теле, величину скорости вращения и коэффициент трения. Установлено, что при вращении вокруг нижнего положения относительного равновесия движение становится асимптотически устойчивым. При вращении вокруг верхнего положения равновесия влияние демпфирующего момента является двояким – гироскопически стабилизированное вращение тела может терять свойство устойчивости, но может становиться и асимптотически устойчивым. Примечательным является тот факт, что последний эффект стабилизации реализуем только для динамически несимметричного тела.

Розглянуто задачу про вплив демпфiрувального моменту на стiйкiсть обертань твердого тiла з нерухомою точкою. Знайдено необхiднi i достатнi умови асимптотичної стiйкостi руху, якi накладають обмеження на розподiл мас у тiлi, величину кутової швидкостi i коефiцiєнт тертя. Встановлено, що у разi обертань навкруги нижчого положення вiдносної рiвноваги рух стає асимптотично стiйким. У разi обертання навкруги верхнього положення рiвноваги вплив демпфiрувального моменту може мати такi наслiдки: стабiлiзоване за рахунок гiроскопiчних сил обертання може отримати стiйкiсть або стати асимптотично стiйким. Останнiй ефект стабiлiзацiї має мiсце лише для динамiчно несиметричного тiла.

The problem of the damping momentum influence on the stability of permanent rotations of the rigid body with fixed point is considered. The necessary and sufficient conditions of the stability are found, which give restrictions for mass distribution of the body, the angular velocity of the rotation and the damping coefficient. It is shown that the motion for downside position of the gyro becomes asymptotically stable. The influence of the damping for the upside rotations may be two-fold: gyroscopically stabilized motion may lose its stability, or may become asymptotically stable. The noteworthy is the fact that the last stabilization effect is realizable for the nonsymmetric gyro only.