Применение вариационного принципа к одномерным стохастическим системам

Abstract

В статье рассмотрена возможность применения принципа наименьшего действия для механических систем к стохастическим системам с непрерывным распределением случайной величины. Функция Лагранжа выбрана в виде квадратичной формы по функциям распределения F(x) и плотности распределения f(x)=F(x) . В результате получены дифференциальные уравнения, приводящие к четырем, хорошо известным в теории вероятности, распределениям: равномерному, линейному, гармоническому и экспоненциальному. Результаты получены в случае, когда функция Лагранжа не зависит от случайной величины явно, поэтому являются основой для дальнейшего исследования различных форм распределений.

У статті розглянуто можливість використання принципу найменшої дії механічних систем до стохастичних систем з неперервним розподілом випадкової величини. Функція Лагранжа побудована у квадратичній формі відносно функцій розподілу F(x) і густини розподілу f (x)=F(x). Внаслідок отримані диференційні рівняння, що привели до чотирьох, добре відомих в теорії ймовірностей, розподілів: рівно- мірному, лінійному, гармонійному і експоненційному. Результати отримані у випадку, коли функція Лагранжа не залежить від випадкової величини неприховано, тому є основою для подальшого дослідження різних форм розподілів.

In the paper, application of the principle of least action of mechanical systems to stochastic systems with continuous random variables is considered. Lagrange function is determined as a quadratic form according to distribution function F(x) and distribution density f (x)=F(x). As a result, differential equations, which lead to four well-known distribution laws of the theory of probability, i.e. random, linear, harmonic and exponential distribution, are obtained. The results were obtained in case when Lagrange function does not directly depend on the random variable, that’s why these results form the basis for further study of various forms of distributions.