Фрактальна розмірність і лінійно неперервні функції

Abstract

З використанням фрактальної розмірності побудовано таку замкнену множину Fщо є нестрогою підмножиною R², яка не може бути множиною точок розриву жодної лінійно неперервної функції f:R²→R, але будь-яка її афінна проекція ніде не щільна. Також доведено, що будь-яка сферична проекція множини точок розриву лінійно неперервної функції f:R^n→R є множиною першої категорії.

С использованием фрактальной размерности построено такое замкнутое множество F являющееся нестрогим подмножеством R², которое не может быть множеством точек разрыва линейно непрерывной функции f:R²→R, но каждая его аффинная проекция нигде не плотна. Также доказано, что каждая сферическая проекция множества точек разрыва линейно непрерывной функции f:R^n→R есть множеством первой категории.

Using the fractal dimension, we construct a closed set F that is nonproper subset of R² which is not the discontinuity point set of a linearly continuous function f:R²→R, but any affine projection of F is nowhere dense. We also prove that any spherical projection of the discontinuous point set of any linearly continuous function f:R^n→R is meager.