Функція Гріна хвильового рівняння для нескінченної прямої жорсткостінної труби кругового поперечного перерізу з осередненою течією

Abstract

Побудовано функцію Гріна тривимірного хвильового рівняння для нескінченної прямої жорсткостінної труби кругового поперечного перерізу з осередненою течією. Ця функція записується у вигляді ряду по акустичних модах зазначеної механічної конструкції і є періодичною по азимутальній координаті та симетричною відносно осьового перерізу розташування одиничного точкового імпульсного джерела. Кожен член цього ряду являє собою суму прямої та зворотної хвиль, які поширюються на відповідній моді труби вниз та вгору за течією від вказаного джерела. У побудованій функції Гріна в явному вигляді відображені ефекти осередненої течії. Ці ефекти стають вагомішими зі збільшенням числа Маха течії, зумовлюючи, зокрема, появу і подальше збільшення асиметрії функції відносно поперечного перерізу, в якому знаходиться джерело. I навпаки, зі зменшенням числа Маха вагомість впливу осередненої течії на функцію Гріна зменшується, спричиняючи, окрім іншого, зменшення зазначеної її асиметрії. У граничному ж випадку відсутності осередненої течії побудована функція Гріна є симетричною відносно вказаного поперечного перерізу і збігається з відповідною функцією Гріна для досліджуваної труби, яка наведена в науковій літературі.

Построена функция Грина трехмерного волнового уравнения для бесконечной прямой жосткостенной трубы кругового поперечного сечения с осредненным течением. Эта функция записывается в виде ряда по акустическим модам указанной механической конструкции и является периодической по азимутальной координате и симметричной относительно осевого сечения расположения единичного точечного импульсного источника. Каждый член этого ряда являет собой сумму прямой и обратной волн, распространяющихся на соответствующей моде трубы вниз и вверх по течению от указанного источника. В построенной функции Грина в явном виде отражены эффекты осредненного течения. Эти эффекты становятся более весомыми с увеличением числа Маха течения, обусловливая, в частности, появление и дальнейшее увеличение асимметрии функции относительно поперечного сечения расположения источника. И наоборот, с уменьшением числа Маха весомость влияния осредненного течения на функцию Грина уменьшается, вызывая, кроме прочего, уменьшение указанной ее асимметрии. В предельном же случае отсутствия осредненного течения построенная функция Грина является симметричной относительно указанного поперечного сечения и совпадает с соответствующей функцией Грина для исследуемой трубы, которая приведена в научной литературе.

The Green's function of the three-dimensional wave equation for an infinite straight rigid-walled pipe of circular cross-section with mean flow is found. This function is written as a series in the pipe acoustic modes and is periodic in the azimuthal co-ordinate and symmetric about the axial section of the unit point impulse source location. Each term of the series is a sum of the direct and reverse waves propagating in the corresponding pipe mode downstream and upstream of the noted source. In the Green's function, the mean flow effects are directly reflected. The effects become more significant, as the Mach number of a flow increases, causing, in particular, the appearance and the further growth of the function asymmetry about the cross-section of the source location. Vice versa, the decrease of the Mach number results in the decrease of the effects and, in particular, the decrease of the indicated asymmetry of the function. In the limiting case of the mean flow absence, the obtained Green's function is symmetric about the indicated cross-section and coincides with the corresponding Green's function for the investigated pipe, which is available in the literature.