Обобщенные потенциалы, инварианты Римана и простые волны в аналоге метода годографа Чаплыгина-Седова в магнитной газовой динамике

Abstract

В случае, когда уравнения состояния и интегралы симметрии включают зависимость не только от удельного объема, но и от функций тока, в аналоге метода годографа Чаплыгина-Седова в магнитной газовой динамике введены обобщенные потенциалы, удовлетворяющие линейным уравнениям, через которые в конечном виде выражены координаты x1 и x2 и функция тока y. В случае гиперболичности основного линейного уравнения теории получены инварианты Римана и уравнения для них. В случае, когда векторы скорости и магнитного поля коллинеарны, получены решения типа простых волн, в которых скорость, напряженность магнитного поля и давление являются функциями только удельного объема. На основе способа, аналогичного способу Л. И. Седова получения класса точных решений с однородными относительными деформациями уравнений однопараметрической нестационарной газовой динамики, рассмотрен весьма общий случай интегрируемости в квадратурах уравнения для переменной "П" в плоскости годографа, аналогичной давлению в классической газовой динамике. Отдельно рассмотрен случай, когда вектор напряженности магнитного поля параллелен выделенной оси.

У випадку, коли рiвняння стану та iнтеграли симетрiї мiстять залежнiсть не тiльки вiд питомого об'єму, але й вiд функцiї току, в аналозi методу Чаплигiна-Сєдова, в магнiтнiй газовiй динамiцi введенi узагальненi потенцiали, що задовольняють лiнiйним рiвнянням, через якi в кiнцевому виглядi вираженi координати x1 i x2 i функцiя току y. У випадку гiперболiчностi основного лiнiйного рiвняння теорiї одержано iнварiанти Рiмана i рiвняння для них. У випадку, коли вектори швидкостi та магнiтного поля колiнеарнi, одержано розв'язок типу простих хвиль, в яких швидкiсть, напруженiсть магнiтного поля та тиск є функцiями тiльки питомого об'єму. На основi способа, який аналогiчний способу Л. I. Сєдова одержання класа точних розв'язкiв з однорiдними вiдносними деформацiями рiвнянь однопараметричної нестацiонарної газової динамiки, розглянутий досить загальний випадок iнтегрованостi в квадратурах рiвняння для змiнної "П" в площинi годографа, аналогiчної тиску в класичнiй газовiй динамiцi. Окремо розглянуто випадок, коли вектор напруженостi магнiтного поля є паралельним вiсi, що видiлена.

In case when the equations of state and the integrals of symmetry involve not only specific volume dependence, but a stream function dependence, too, generalized potentials, that fulfill the linear equations, in which the coordinates x1 and x2 and a stream function y are expressed, are introduced to analog of Chaplygin-Sedov method of hodograph in magnetic gas dynamics. In case when basic linear equation of theory is hyperbolic the Riman invariants and equations for them are obtained. In case, when vectors of the magnetic field and velocity are collinear, the solutions of simple waves type, where velocity, magnetic field intensity and pressure are the functions of only specific volume, are obtained. On basis of the method, that is analogous to L. I. Sedov method of obtaining of the class of exact solutions with homogeneous relative deformations of single--parametric nonstationary gas dynamics, the very general occasion of integrability in quadratures of the equation for the variable "П" in hodograph plane, that is analogous to pressure in classical gas dynamics, is consideredi. Тhe case is considered, when the magnetic field vector is parallel to the particular axis.