Применение смешанной аппроксимации к решению двухмерных задач теории упругости методом конечных элементов

Abstract

Для решения двухмерных краевых задач теории упругости применяется смешанная схема метода конечных элементов. Описан треугольный конечный элемент, обеспечивающий устойчивость и сходимость смешанной аппроксимации. Построена система разрешающих уравнений смешанного метода с учетом точного удовлетворения статических граничных условий на поверхности. Для решения матричных уравнений смешанного метода приведены различные варианты алгоритма метода сопряженных градиентов с переобусловливающей матрицей. Представлены результаты численного анализа сходимости и точности решения ряда модельных задач теории упругости и линейной механики разрушения. Сопоставлены результаты, полученные на основе классического и смешанного методов конечных элементов.

Для розв’язку двовимірних крайових задач теорії пружності використано змішану схему методу скінченних елементів. Описано трикутний скінченний елемент, котрий забезпечує стійкість і збіжність змішаної апроксимації. Побудовано систему розв’язувальних рівнянь змішаного методу з урахуванням точного задоволення статичних граничних умов на поверхні. Для розв’язання матричних рівнянь змішаного методу наведено різні варіанти алгоритму методу спряжених градієнтів із перезумовленою матрицею. Представлено результати числового аналізу збіжності і точності розв’язання ряду модельних задач теорії пружності та лінійної механіки руйнування. Порівнюються результати, що отримані на основі класичного і змішаного методів скінченних елементів.

For the solution of 2D boundary-value problems of the elasticity theory, a triangular finite element, ensuring stability and convergence of mixed approximation, is proposed. The system of resolving equations of the mixed method is derived with account of strict satisfaction of static boundary conditions at the surface. To solve matrix equations of the mixed method, various algorithms of the conjugate-gradient method with the pre-conditional matrix have been considered. Numerical data on convergence and accuracy of the solution for a number of test problems of the elasticity theory and fracture mechanics are given. The results obtained by the classical and mixed FEM are compared.