Stochastic processes crossing from ballistic to fractional diffusion with memory: exact results

Abstract

We address the now classical problem of a diffusion process that crosses over from a ballistic behavior at short times to a fractional diffusion (sub- or super-diffusion) at longer times. Using the standard non-Markovian diffusion equation we demonstrate how to choose the memory kernel to exactly respect the two different asymptotics of the diffusion process. Having done so we solve for the probability distribution function as a continuous function which evolves inside a ballistically expanding domain. This general solution agrees for long times with the probability distribution function obtained within the continuous random walk approach but it is much superior to this solution at shorter times where the effect of the ballistic regime is crucial.

Запропоновано об'єднаний опис перехідних дифузійних процесів від балістичної поведінки на малих часах до дробової дифузії на великих часах. З цією метою використано немарківське рівняння дифузії. Встановлено явний вигляд часо-нелокального коефіцієнта дифузії, який відповідає різним асимптотикам дифузійного процесу. Знайдено розв'язки такого рівняння та показано, що функція розподілу є неперервною функцією координат і часу в межах області балістичної еволюції. Загальний розв'язок на великих часах узгоджується з результатами, одержаними на базі теорії неперервних в часі випадкових блукань, а на малих часах описує балістичний режим.