Гетерогенний підхід до моделювання процесу теплоперенесення в багатошарових конструкціях із врахуванням малих товщин окремих шарів

Abstract

У роботі на основі варіаційного підходу побудовано математичну модель нестаціонарного процесу теплоперенесення у середовищах з тонкими покриттями та включеннями. Для врахування малих товщин окремих шарів використано гетерогенний підхід, який передбачає пониження вимірності ключових рівнянь математичної моделі в областях тонких включень. Сформульовані варіаційна задача та теорема про існування та єдиність її розв’язку. Розроблена числова схема дослідження описаних задач, яка базується на напіваналітичному методі скінченних елементів для дискретизації варіаційної задачі за просторовими змінними та різницевою схемою Кранка-Ніколсона для дискретизації за часом. Сформульовані теореми про існування, єдиність та швидкість збіжності числового розв’язку. Наведено приклад стаціонарного процесу в тришаровій параболічній області.

In present work the mathematical model of non-stationary heat transfer in environments with thin coverings and inclusions is constructed on the basis of the variational approach. For modeling of small thickness of separate layers the heterogeneous approach is used which provides dimensional reduction of key equations of the mathematical model in the regions of thin inclusions.The numerical method for the above-mentioned class of problems based on semianalitical Finite Element Method for the space-variable discretization and Finite Difference Method for time discretization, has been developed. The theorems of existence, uniqueness and speed of convergence of the numerical decision are formulated.The example of research of stationary process of heat transfer in a parabolic area with three layers is presented.

В работе на основании вариационного похода построена математическая модель нестационарного процесса теплопереноса в средах с тонкими покрытиями и включениями. Для учета малых толщин отдельных слоев использован гетерогенный подход, который предусматривает снижения размерности уравнений математической модели в областях тонких включений. Сформулированы вариационная задача и теорема о существовании и единственности ее решения.Разработана числовая схема решения исследуемых задач, базирующаяся на полуаналитическом методе конечных элементов для дискретизации вариационной задачи по пространственных переменных и разностной схеме Кранка-Николсона для дискретизации по времени. Сформулированы теоремы о существовании, единственности и скорости сходимости числового решения. Приведен пример исследования стационарного процесса теплопроводности в трехслойной параболической области.