Асимптотические решения ступенчатого типа для уравнения Кортевега–де Фриза с переменными коэффициентами и малым параметром при старшей производной

Abstract

Рассмотрено уравнение Кортевега–де Фриза с переменными коэффициентами и малым параметром первой степени при старшей производной. Введено понятие асимптотического решения ступенчатого типа. На основе нелинейного метода ВКБ разработан алгоритм построения таких решений и дано его обоснование. Установлен порядок по малому параметру асимптотической точности, с которой построенное приближенное решение удовлетворяет исходному уравнению.

Розглянуто рівняння Кортевега–де Фріза зі змінними коефіцієнтами і малим параметром першого степеня при старшій похідній. Запропоновано поняття асимптотичного розв’язку типу сходинки. На основі нелінійного методу ВКБ розроблено алгоритм побудови таких розв’язків і наведено його обґрунтування. Встановлено порядок за малим параметром асимптотичної точності, з якою побудований наближений розв’язок задовольняє вихідному рівнянню.

The paper deals with the Korteweg–de Vries equation with variable coefficients and a small parameter of the first degree at the highest derivative. The notion of an asymptotic solution of a step type is proposed. By means of the non-linear WKB technique, an algorithm for constructing such solutions is proposed and justified. The order, on the small parameter, of the asymptotic accuracy with which the constructed approximate solution satisfies the given equation is established.