О приближении в среднем классов функций с дробными производными их интегралами Абеля–Пуассона

Abstract

В данной работе решена одна из классических задач теории приближения функций и прикладной математики. А именно, исследован вопрос о приближении в интегральной метрике классов функций с дробными производными их интегралами Абеля–Пуассона, которые в свою очередь являются решением краевой задачи эллиптического типа с заданными граничными условиями на границе области.

Постійний розвиток прикладної математики зумовлений її тісним зв’язком із фундаментальними напрямками досліджень у суміжних областях природничих наук. Одним з актуальних напрямків сучасної науки є вивчення лінійних та нелінійних математичних ігрових моделей різних явищ та процесів природи. Поява таких моделей обумовлена використанням в сучасній фізиці і техніці впливів на речовину електричних полів великої інтенсивності, пучків частинок високої енергії, потужного лазерного когерентного випромінювання ударних хвиль високої інтенсивності, потужних теплових потоків. В основі таких моделей лежать диференціальні рівняння в частинних похідних, одним з типів яких є рівняння еліптичного типу, що описують стаціонарні процеси різної фізичної природи. Найбільш простим і поширеним рівнянням еліптичного типу є рівняння Лапласа, розв’язком якого при заданих умовах на межі області, що розглядається, є відомий інтеграл Абеля–Пуассона. Досліджено апроксимативні властивості розв’язку крайової задачі еліптичного типу із заданими граничними умовами на межі області на класах функцій з дробовими похідними. Розв’язок даної проблеми може використовуватися при вивченні та подальшому застосуванні методів розв’язуючих функцій для ігрових задач динаміки. Отримано асимптотичні рівності точних верхніх меж відхилень класів функцій з дробовими похідними від інтегралів Абеля–Пуассона в інтегральній метриці. Показано еквівалентність апроксимативних характеристик розв’язків крайових задач еліптичного типу із заданими граничними умовами на межі області як в рівномірній, так і в інтегральній метриках для класів функцій з дробовими похідними.

The constant development of the of applied mathematics is due to its close connection with the fundamental directions of research in the related fields of natural sciences. One of the most important areas of modern science is the study of linear and nonlinear mathematical game models of various phenomena and processes of nature. The emergence of such models is due to the use in modern physics and techniques of influence on matter of electric fields of high intensity, beams of high-energy particles, powerful laser coherent radiation of shock waves of high intensity and powerful heat fluxes. The basis of such models is the differential equations in partial derivatives, one of which is the equation of the elliptic type, describing the stationary processes of different physical nature. The simplest and most widespread equation of the elliptic type is the Laplace equation whose solution, under given conditions, on the boundary of the considered region, is the well-known Abel–Poisson integral. Approximate properties of the solution of an elliptic boundary value problem with given boundary conditions at the boundary of the domain on classes of functions with fractional derivatives are investigated. The solution to this problem finds its application in the study and further application of methods of resolving functions for game dynamics problems. Here we found the asymptotic equalities for the exact upper bounds of the deviations of classes of functions with fractional derivatives from their Abel–Poisson integrals in the integral metric. We establish the equivalence of the approximation characteristics of solutions of an elliptic boundary value problem with given boundary conditions at the boundary of domain both in the uniform and in the integral metrics for classes of functions with fractional derivatives.