Метод разрешающих функций в задаче группового преследования с терминальной функцией платы и интегральными ограничениями на управления

Abstract

В работе рассматриваются линейные дифференциальные игры группового преследования с терминальной функцией платы и интегральными ограничениями на управления. Сформулированы достаточные условия окончания игры за конечное гарантированное время в случае, когда справедливо условие М.С. Никольского. Предложена модифицированная схема метода разрешающих функций, которая обеспечивает окончание игры за определенное гарантированное время в классе стробоскопических стратегий Хайека. Показано, что без дополнительных предположений это время совпадает с гарантированным временем в классе квазистратегий. Дано сравнение гарантированных времен.

Запропоновано метод вирішення ігрових завдань динаміки з термінальною функцією плати і інтегральними обмеженнями на керування, який полягає в систематичному використанні ідей Фенхеля–Моро стосовно загальної схеми методу розв’язувальних функцій. Сутність запропонованого методу в тому, що розв’язувальну функцію вдається виразити через спряжену до функції плати і, використовуючи інволютивність оператора сполучення для опуклої замкнутої функції, отримати гарантовану оцінку термінального значення функції плати, яку представлено через значення плати в початковий момент і інтеграл від розв’язувальної функції. Головною особливістю методу є накопичувальний принцип, який використовується в поточному підсумовуванні розв’язувальної функції для оцінки якості гри аж до досягнення деякого порогового значення. Розглянуто лінійні диференціальні ігри групового переслідування з термінальною функцією плати та інтегральними обмеженнями на керування. Сформульовано достатні умови закінчення гри за кінцевий гарантований час у класі квазістратегій. Запропоновано дві схеми методу розв’язувальних функцій, що забезпечують без додаткових припущень завершення гри за кінцевий гарантований час у класі стробоскопічних стратегій. Показано результати порівняння гарантованих часів різних схем методу розв’язувальних функцій.

A method is proposed for solving game dynamics problems with a terminal pay off function and integral constraints on controls, which consists in systematically using the ideas of Fenhel-Moreau in relation to the general scheme of the method of resolving functions. The essence of the proposed method lies in the fact that the resolving function can be expressed through the function conjugate to the pay off function and, using the involute of the conjugation operator for a convex closed function, to obtain a guaranteed estimate of the terminal value of the pay off function, which is represented through the paying off value at the initial time and the integral of the resolving function. The main feature of the method is the cumulative principle, which is used in the current summation of the resolving function for assessing the quality of the game until a certain threshold value is reached. The paper considers linear differential games of group pursuit with a terminal pay off function and integral constraints on controls. Sufficient conditions for termination of the game for a finite guaranteed time in the class of quasi-strategies are formulated. Two schemes of the method of resolving functions are proposed that ensure without additional assumptions the completion of the game for the final guaranteed time in the class of stroboscopic strategies. The guaranteed times for various schemes of the resolving-functions method are compared.