Класи проєктивних представлень у визначенні симетрії колективних спінорних збуджень та їхньої дисперсії в кристалах і періодичних наноструктурах

Abstract

Розглянуто розподіл електронних елементарних збуджень у кристалах і періодичних наноструктурах за незвідними проєктивними представленнями відповідних проєктивних класів точкових і просторових груп симетрії та залежність проєктивних класів від структури нетривіальних трансляцій просторових груп. Головну увагу приділено встановленню двозначних незвідних проєктивних представлень і відповідних їм проєктивних класів з урахуванням спіну електрона, коли хвильовими функціями електронних станів є двозначні спінорні орбіталі. Описано методики побудови фактор-систем, проєктивно еквівалентних (p-еквівалентних) фактор-систем, притаманних певному проєктивному класу проєктивних представлень, та методики зведення їх до р-еквівалентного стандартного вигляду. Запропоновано нову класифікацію проєктивних класів для гексагональних структур, а також побудовано коректну таблицю симетрійних перетворень спінорів. Показано, що встановлення проєктивних класів проєктивних представлень і їх змін для різних точок зон Бріллюена в кристалічному графіті γ-С і двоперіодичній структурі одношарового графену CL1 дає можливість надати якісну симетрійну інтерпретацію дисперсії електронних збуджень у кристалічному графіті і одношаровому графені. Зокрема, це дає змогу виявити спінзалежні розщеплення електронних станів у їх зонах Бріллюена, які обумовлені спін-орбітальною взаємодією в спінорних орбіталях.

The distribution of electronic elementary excitations in crystals and periodic nanostructures according to irreducible projective representations of the corresponding projective classes of point and spatial symmetry groups and the dependence of projective classes on the structure of nontrivial translations of spatial groups are considered. The main attention is paid to the establishment of two-valued irreducible projective representations and corresponding projective classes taking into account the electron spin, when the wave functions of electronic states are two-valued spinor orbitals. This paper presents methods for constructing factor systems that are projectively equivalent (p-equivalent) factor systems, inherent in a certain projective class of projective representations, and methods for reducing them to the p-equivalent standard form. A new classification of projective classes for hexagonal structures is proposed, and a correct table of symmetric transformations of spinors is constructed. It is shown that the establishment of projective classes of projective representations and their changes for different points of Brillouin zones in crystalline graphite γ-C and two-period structure of singlelayer graphene CL1 makes it possible to provide qualitative symmetric interpretation of electron excitation dispersion in crystalline graphite and single-layer graphene. In particular, it makes it possible to detect spindependent cleavages of electronic states in their Brillouin zones, which are due to the spin-orbit interaction in spinor orbitals.