One game problem for oscillatory systems

Abstract

The paper concerns the linear differential game of approaching a cylindrical terminal set. We study the case when classic Pontryagin’s condition does not hold. Instead, the modified considerably weaker condition, dealing with the function of time stretching, is used. The latter allows expanding the range of problems susceptible to analytical solution by the way of passing to the game with delayed information. Investigation is carried out in the frames of Pontryagin’s First Direct method that provides hitting the terminal set by a trajectory of the conflict-controlled process at finite instant of time. In so doing, the pursuer’s control, realizing the game goal, is constructed on the basis of the Filippov-Castaing theorem on measurable choice. The outlined scheme is applied to solving the problem of pursuit for two different second-order systems, describing damped oscillations. For this game, we constructed the function of time stretching and deduced conditions on the game parameters, ensuring termination of the game at a finite instant of time, starting from arbitrary initial states and under all admissible controls of the evader.

Мета роботи. На базі еквівалентності лінійної диференціальної гри із змінним запізненням інформації грі з повною інформацією обґрунтувати принцип розтягу часу для вирішення задач з повною інформацією, для яких не виконується умова про перевагу над супротивником в ресурсах керування. Розширити поняття функції розтягу часу на клас розривних функцій з метою його подальшого використання при вирішенні складних ігрових задач. Результати. Застосовуючи принцип розтягу часу, на базі першого прямого методу Понтрягіна одержані достатні умови зближення в лінійних диференціальних іграх, для яких не виконана умова миттєвої переваги в ресурсах керування. Одержані достатні умови виведення траєкторії конфліктно-керованої системи на термінальну множину в скінченний момент часу. Ці умови конкретизовані для ігрової задачі про зближення двох згасаючих коливань, динаміка яких описується системами лінійних диференціальних рівнянь другого порядку. Побудований спосіб керування переслідувача на основі інформації про керування втікача в минулому, що забезпечує йому зустріч із супротивником у скінченний момент часу, яке б керування останній не застосовував, та при довільних початкових станах та швидкостях супротивників. Принцип розтягу часу підтвердив, що є ефективним засобом при вирішенні задач, що не піддаються дослідженню класичними прямими методами.

Цель работы. На основе эквивалентности линейной дифференциальной игры с переменным запаздыванием информации игре с полной информацией обосновать принцип растяжения времени для решения задач с полной информацией, для которых не выполнено классическое условие Л.С. Понтрягина о преимуществе в ресурсах управления. Расширить понятие функции растяжения времени на класс разрывных функций с целю его дальнейшего использования при решении сложных игровых задач. Результаты. Используя принцип растяжения времени, на основе первого прямого метода Понтрягина, получены достаточные условия сближения в линейной дифференциальной игре. Решена игровая задача о сближении двух затухающих колебаний. Принцип растяжения времени подтвердил, что является эффективным средством при решении задач, не поддающихся исследованию стандартными методами.