On the improvement of the rate of convergence of the generalized Bieberbach polynomials in domains with zero angles

Abstract

Let ℂ be the complex plane, let C¯=C∪{∞}, let G ⊂ ℂ be a finite Jordan domain with 0 ∈ G; let L := ∂G; let Ω := C¯∖G¯, and let w = φ(z) be a conformal mapping of G onto a disk B(0, ρ₀) := {w:|w|<ρ₀} normalized by the conditions φ(z) = 0 and φ′(0)=1, where ρ₀ = ρ₀(0, G) is the conformal radius of G with respect to 0. Let

φp(z):=∫₀z[φ′(ζ)]2/pdζ and let π n,p (z) be the generalized Bieberbach polynomial of degree n for the pair (G, 0) that minimizes the integral

∬G∣∣φ′p(z)−P′n(z)∣∣pdσz in the class of all polynomials of degree deg Pn ≤ n such that Pn(0) = 0 and P′n(0)=1. We study the uniform convergence of the generalized Bieberbach polynomials π n,p (z) to φ p (z) on G¯ with interior and exterior zero angles determined depending on properties of boundary arcs and the degree of their tangency. In particular, for Bieberbach polynomials, we obtain improved estimates for the rate of convergence in these domains.

Нехай C — комплексна площина, C¯=C⋃{∞}, G⊂C — скiнченна жорданова область iз 0∈G, L:=∂G, Ω:=C¯ G¯ i w=φ(z) — конформне вiдображення G на круг B(0,ρ):={w:|w|<ρ₀0}, нормоване умовами φ(0)==0,φ′(0)=1, де ρ₀=ρ₀(0,G) — конформний радiус G вiдносно 0. Покладемо φρ(z):=∫₀z[φ′(ζ)]2/pdζ. Нехай πn,p(z) — узагальнений полiном Бiбербаха степеня n для пари (G,0), що мiнiмiзує iнтеграл ∫∫G|φ′(z)−P′n(z)|pdσz у класi всiх полiномiв степеня degPn≤n таких, що Pn(0)=0, P′n(0)=1. Вивчається рiвномiрна збiжнiсть узагальнених полiномiв Бiбербаха πn,p(z) до φρ(z) у G¯ iз внутрiшнiми та зовнiшнiми нульовими кутами, що визначаються в залежностi вiд властивостей граничних дуг та степеня їхнього дотику. Зокрема, для полiномiв Бiбербаха отримано покращенi оцiнки швидкостi збiжностi у цих областях.