Asymptotic behavior of solutions of a nonlinear difference equation with continuous argument

Abstract

We consider the difference equation with continuous argument x(t+2)−2λx(t+1)+λ²x(t)=f(t,x(t)), where λ > 0, t ∈ [0, ∞), and f: [0, ∞) × R → R. Conditions for the existence and uniqueness of continuous asymptotically periodic solutions of this equation are given. We also prove the following result: Let x(t) be a real continuous function such that limt→∞(x(t+2)−(1−α)x(t+1)−αx(t))=0 for some α ∈ R. Then it always follows from the boundedness of x(t) that limt→∞(x(t+1)−x(t))=0 t → ∞ if and only if α ∈ R {1}.

Розглянуто різницеве рівняння з меперершшм аргумен том x(t+2)−2λx(t+1)+λ²x(t)=f(t,x(t)), де λ>0,t∈[0,∞) та f:[0,∞)×R→R. Навелено умови ісііування та єдності неперервних асимптотично періодичних розв'язків даного рівнянняя. Доведено також наступне твердження: Нехай x(t) — дійсна непервнаа функція така, що limt→∞(x(t+2)−(1−α)x(t+1)−αx(t))=0 для деякого α∈R. У цьому випадку з обмеженості x(t) завжди випливає, що limt→∞(x(t+1)−x(t))=0 тоді і тільки годі, коли α∈R{1}.