Точные аналитические решения в теории броуновских моторов и насосов

Abstract

Рассматрена диффузионная динамика броуновской частицы, потенциальная энергия которой в силовом поле окружающей среды претерпевает дихотомные флуктуации между двумя потенциальными рельефами, представляющими собой кусочно-линейные функции. Показано, что если на каком-то интервале изменения этих функций наклоны линейных участков равны или противоположны по знаку, то общее решение системы дифференциальных уравнений, описывающих диффузионную динамику, записывается в простой аналитической форме. Это обстоятельство позволяет получить для средней скорости направленного движения частицы, возникающего вследствие флуктуаций потенциальной энергии, ряд точных решений в следующих ситуациях: броуновский мотор с предельно асимметричным пилообразным потенциалом, флуктуирующим на полпериода, броуновский насос с двумя линейными участками потенциала, флуктуирующими по знаку, и возвратно-поступательный мотор с V-образным потенциальным профилем, претерпевающим сдвиговые флуктуации. Получены закономерности зависимости средней скорости наночастицы от температуры и частоты флуктуаций потенциала в перечисленных ситуациях.

We have considered the diffusion dynamics of a Brownian particle, with its potential energy undergoing, in the force field of the environment, dichotomic fluctuations between two potential profiles representing piecewise linear functions. It is shown that if on some variation interval of these functions the slopes of their linear pieces are equal or opposite in sign, then the general solution of the system of differential equations describing the diffusion dynamics can be written in a simple analytic form. This allows derivation of exact solutions for the average velocity of the particle directed motion induced by potential energy fluctuations, as far as the following cases are concerned: a Brownian motor with extremely asymmetric sawtooth potential fluctuating by half a period, a Brownian pump with two sign-fluctuating linear pieces of the potential, and a reciprocating Brownian motor with a V-shaped potential profile undergoing shift fluctuations. For the situations mentioned, the regularities have been established referring to the dependence of the nanoparticle average velocity on the temperature and potential fluctuation frequency.

Розглянуто дифузну динаміку броунівської частинки, з потенціальною енергією якої в силовому полі оточуючого середовища відбуваються дихотомні флуктуації між двома потенціальними рельєфами , що являють собою кусково-лінійні функції. Показано, що якщо на якомусь інтервалі зміни цих функцій, нахили лінійних ділянок рівні чи протилежні за знаком, то загальний розв’язок системи диференційних рівнянь, що описують дифузну динаміку, записується в простому аналітичному вигляді. Ця обставина дозволяє отримати для середньої швидкості направленого руху частинки,виникаючої внаслідок флуктуацій потенціальної енергії, ряд точних розв’язків для наступних ситуацій: броунівський мотор с гранично асиметричним пилкоподібним потенціалом, флуктуюючим на півперіода, броунівський насос з двома лінійними ділянками потенціала, флуктуюючими за знаком, і обернено-поступальний мотор з V-образним потенціальним профілем, з яким відбуваються флуктуації, що зсовуються. Отримані закономірності залежності середньої швидкості наночастинки від температури і частоти флуктуацій для перерахованих ситуацій.