Аnalysis of the non-stationary model of coupled oscillators with inductive coupling

Abstract

The model of coupled oscillators plays an important role in modern physics. It is used for description of various processes: from oscillations of atoms in solid states to electromagnetic oscillations in slow-wave structures. The model with “short-range coupling” is the most widely used, for which a separate oscillator is coupled with two adjacent ones only. There are two main types of oscillators coupling: “capacitive” (“electric”, “power”) and “inductive” (“magnetic”, “inertial”). In the first case, the coupling is proportional to the amplitudes of oscillations in the adjacent cells, in the second one – to the second derivative of these amplitudes. For numerical study of dynamics of a system that can be described by a model of coupled oscillators with an "inductive" coupling, it is necessary to find explicit expressions for the second derivatives of the amplitudes. To find these expressions, we propose to use the methods of solving of difference equations. The results of the analysis of this method are given in the paper.

Модель зв'язаних осциляторів відіграє важливу роль у сучасній фізиці. Її використовують для опису різноманітних процесів: від коливань атомів у твердих тілах до електромагнітних коливань в уповільнюючих структурах. Найбільш широко використовують модель з «ближнім зв'язком», коли конкретний осцилятор зв'язаний тільки з двома сусідніми. Існує два основних види зв'язку осциляторів: «електричний» («ємнісний», «силовий») і «магнітний» («індуктивний», «інерційний»). У першому випадку зв'язок є пропорційним амплітудам коливань у сусідніх комірках, у другому – другій похідній цих амплітуд. При чисельному дослідженні динаміки системи, яка описується моделлю зв'язаних осциляторів з індуктивним зв'язком, необхідно знайти явні вирази для других похідних амплітуд. Для знаходження цих виразів у даній роботі пропонується використовувати методи розв'язання різницевих рівнянь. Приводяться результати аналізу даного методу.

Модель связанных осцилляторов играет важную роль в современной физике. Она используется для описания различных процессов: от колебаний атомов в твердых телах до электромагнитных колебаний в замедляющих структурах. Наиболее широко используется модель с «ближней связью», когда конкретный осциллятор связан только с двумя соседними. Существует два основных вида связи осцилляторов: «электрическая» («емкостная», «силовая») и «магнитная» («индуктивная», «инерционная»). В первом случае связь пропорциональна амплитудам колебаний в соседних ячейках, во втором – второй производной этих амплитуд. При численном исследовании динамики системы, описываемой моделью связанных осцилляторов с индуктивной связью, необходимо найти явные выражения для вторых производных амплитуд. Для нахождения этих выражений в данной работе предлагается использовать методы решения разностных уравнений. Приводятся результаты анализа данного метода.