Использование вероятностного распределения Якоби для апроксимации эмпирических статистических распределений

Abstract

Цель статьи продемонстрировать возможности использования вероятностного распределения Якоби для подгонки статистических совокупностей. Проанализированы универсальные системы распределений Пирсона и Джонсона, обобщенное лямбда-распределение и распределение Грама–Шарлье, которые нашли широкое распространение для подгонки статистических совокупностей. Указывается, что основной недостаток таких распределений состоит в том, что они не позволяют учесть реальные ограниченные области варьирования случайных величин. Рассмотрены теоретические вопросы построения одномерного вероятностного распределения Якоби, получаемого на основе разложения неизвестной функции плотности по системе ортогональных полиномов Якоби, имеющих вариацию на ограниченном отрезке. Сформулированы принципы оптимальности распределения Якоби при аппроксимации статистических данных и даны практические рекомендации его построения. В частности, наилучшие результаты подгонки получаются для распределения Якоби, построенного с использованием ультрасферических ортогональных полиномов Якоби. Определена область использования распределения Якоби, которая значительно шире, чем у распределения Грама–Шарлье. Приведены способы определения предельных точек распределения Якоби. На примерах продемонстрировано преимущество распределения Якоби при подгонке статических совокупностей в сравнении с используемыми на практике универсальными распределениями.

Мета статті продемонструвати можливості використання імовірнісного розподілу Якобі для підгонки статистичних сукупностей. Проаналізовано універсальні системи розподілів Пірсона та Джонсона, узагальнений лямбда розподіл і розподіл Грама–Шарл'є, які знайшли широке розповсюдження при підгонці статистичних сукупностей. Зазначається, що основний недолік таких розподілів полягає в тому, що вони не дозволяють урахувати реальні обмежені області варіювання випадкових величин. Розглянуто теоретичні питання побудови одновимірного імовірнісного розподілу Якобі, отриманого на основі розкладу невідомої функції щільності за системою ортогональних поліномів Якобі, які мають варіювання на обмеженому відрізку. Сформульовано принципи оптимальності розподілу Якобі при апроксимації статистичних даних і надано практичні рекомендації його побудови. Зокрема, найкращі результати підгонки виходять для розподілу Якобі, побудованого з використанням ультрасферичних ортогональних поліномів Якобі. Визначена область використання розподілу Якобі, яка є значно ширшою від розподілу Грама–Шарл'є. Наведено способи визначення граничних точок розподілу Якобі. На прикладах продемонстровано перевагу розподілу Якобі при підгонці статичних сукупностей в порівнянні з універсальними розподілами, що використовуються на практиці.

The paper purpose is to demonstrate the opportunities of the Jacobi probability distributions for fitting the statistical populations. The universal Pearson and Johnson systems of the distributions, the generalized lambda distribution and the Gram-Charlier distribution, which are widely used for fitting statistical populations, are analyzed. It is pointed out that the main disadvantage of these distributions is that they do not take into account real limited ranges of variations in the random variables. The paper considers the theoretical problems of the con structionof the one-dimensional Jacobi probability distribution, based on the expansion the unknown density function in the term of the system of the orthogonal Jacobi polynomials with variations in a limited interval. The optimality principles of the Jacobi distribution are formulated to approximate the statistical data, and practical recommendations are given for its construction. In particular, the best fitting results are obtained for the Jacobi distribution constructed with the ultraspherical orthogonal Jacobi polynomials. The application of the Jacobi distribution is determined, which is significantly wider than the application of the Gram-Charlier distribution. Methods for determining the limited points of the Jacobi distribution are presented. Examples demonstrate the advantages of the Jacobi distribution for fitting the statistical populations in comparison with the universal distributions used in practice.