Автономная периодическая задача для уравнения типа Хилла в частном критическом случае

Abstract

Исследована задача о нахождении условий существования и построении решений автономной периодической задачи для слабонелинейного уравнения типа Хилла. Нами изучен случай наличия кратных корней уравнения для порождающих амплитуд. Для нахождения решений поставленной задачи в частном критическом случае получены конструктивные необходимые и достаточные условия существования, а также построена сходящаяся итерационная схема. Предложенная итерационная техника определяет приближения к решениям автономной периодической задачи для уравнения типа Хилла, являющиеся периодическими функциями. В качестве примера исследована задача о нахождении периодических решений слабонелинейного уравнения Дюффинга.

Досліджено задачу про знаходження умов існування і побудову розв’язків автономної періодичної задачі для слабконелінійного рівняння типу Хілла. Нами розглянуто випадок наявності кратних коренів рівняння для породжуючих амплітуд. Для знаходження розв’язків поставленої задачі у частинному критичному випадку отримані конструктивні необхідні і достатні умови існування, а також побудована збіжна ітераційна схема. Запропонована ітераційна техніка дозволяє знаходження розв’язків автономної періодичної задачі для рівняння типу Хілла, які є періодичними функціями. Як приклад, досліджено задачу про знаходження періодичних розв’язків слабко-нелінійного рівняння Дюффінга.

We studied the problem of finding the conditions of existence and the construction of an autonomous periodic boundary value problem for the weakly nonlinear equations such as Hill. We studied the case of the presence of multiple roots of an equation for generating the amplitude. To find the solutions of the problem in the particular case of the critical design obtained the necessary and sufficient conditions of existence, as well as built converging iterative scheme. The proposed iterative technique determines the autonomous decisions of the periodic problem for an equation of the Hill, is a periodic function. As an example, we studied the problem of finding periodic solutions of weakly nonlinear Duffing equation.