Единственность решения задачи Римана — Гильберта для волны разрежения уравнения Кортевега — де Фриза

Abstract

Существенным моментом в асимптотическом анализе решений нелинейных вполне интегрируемых уравнений методом наискорейшего спуска является исследование единственности решения соответствующей задачи Римана — Гильберта. В работе устанавливается единственность решения задачи Римана—Гильберта, построенной по левым данным рассеяния для уравнения Кортевега — де Фриза с начальными данными типа ступеньки, соответствующими волне разрежения. Такая задача позволяет исследовать асимптотическое поведение решения позади заднего волнового фронта. Доказательство единственности проведено как для нерезонансного, так и для резонансного случаев.

Істотним моментом в асимптотичному аналізі розв’язків нелінійних цілком інтегровних рівнянь методом найшвидшого спуску є дослідження єдиності розв’язку відповідної задачі Рімана — Гільберта. У роботі встановлюється єдиність розв’язку задачі Рімана — Гільберта, побудованої за лівими даними розсіювання для рівняння Кортевега — де Фріза з початковими даними типу сходинки, що відповідають хвилі розрідження. Ця задача дає змогу дослідити асимптотичну поведінку розв’язку позаду заднього фронту хвилі. Доказ єдиності проведено як для нерезонансного, так і для резонансного випадків.

An essential aspect in the asymptotic analysis of solutions for nonlinear completely integrable equations by the method of steepest descent is the study of the uniqueness of the corresponding Riemann–Hilbert problem. We establish the uniqueness of the solution for the Riemann — Hilbert problem associated the left scattering da ta for the Korteweg — de Vries equation with the steplike initial data, which correspond to a rarefaction wave. Such a problem allows us to investigate the asymptotic behavior of the solution behind the back wave front. The proof of the uniqueness is done for the nonresonant and resonant cases.