Точное решение задачи об электроне в магнитном поле, состоящем из однородного поля и параллельных ему произвольно расположенных магнитных струн

Abstract

Показано, что требования конечности, однозначности и определенности волновой функции и плотности тока вероятности с необходимостью приводят к тому, что волновые функции электрона при приближении к магнитной струне должны по модулю убывать быстрее, чем корень квадратный расстояния до струны (магнитной струной называют бесконечно тонкий соленоид с конечным магнитным потоком). Получен энергетический спектр электрона, в общем случае совпадающий со спектром в отсутствие струн. Найден общий вид собственных функций основного состояния и оператор, действием степеней которого можно получить собственные функции возбужденных состояний. В случае, когда имеется только одна струна с магнитным потоком, не кратным удвоенному кванту потока, в энергетическом спектре появляется еще одна эквидистантная последовательность собственных значений. Она сдвинута по отношению к основной на долю интервала, равную положительной дробной части частного от деления магнитного потока на величину удвоенного кванта. Эта последовательность начинается от уровня, номер которого равен числу остальных магнитных струн. Получены также волновые функции для этих особых состояний.

It is shown that the requirements of finiteness, single-valuedness, and definiteness of the wave function and probability current density necessarily lead to the fact that as a magnetic string is approached the wave functions of the electron must decrease in modulus more rapidly than the square root of the distance from the string (a magnetic string is an infinitely thin solenoid carrying a finite magnetic flux). The energy spectrum of an electron is obtained. In general the spectrum is identical to the spectrum in the absence of strings. The general form of the eigenfunctions of the ground state and an operator whose powers give the eigenfunctions of the excited states are found. When there is only one string with magnetic flux which is not a multiple of twice the flux quantum another equidistant sequence of eigenvalues appears in the energy spectrum. This sequence is shifted with respect to the main sequence by a fraction equal to the positive fractional part of the quotient obtained by dividing the magnetic flux by twice the flux quantum. This sequence starts from a level whose number equals the number of the remaining magnetic strings. The wave functions for these special states are also obtained.

Показано, що вимоги скінченності, однозначності і визначенності хвильової функції та густини струму ймовірності з необхідністю призводять до того, що хвильові функції електрона при наближенні до магнітної струни повинні по модулю спадати швидче, ніж квадратний корінь з відстані до струни (магнітною струною називають нескінчено тонкий соленоїд з скінченим магнітним потоком). Одержано енергетичний спектр електрона, який у загальному випадку співпадає зі спектром у відсутності струн. Знайдено загальний вигляд власних функцій основного стану і оператор, діючи ступенями якого можна одержати власні функції збуджених станів. У випадку, коли існує тільки одна струна з магнітним потоком, що не є кратним подвоєному кванту потоку, у енергетичному спектрі виникає ще одна еквідістантна послідовність власних значень. Вона зсунута по відношенню до основної на частку інтервала, що дорівнює додатній дробовій частині частки від ділення магнітного потоку на величину подвоєного кванта. Ця послідовність починається від рівня, номер якого дорівнює кількості інших магнітних струн. Одержано також хвильові функції для цих особливих станів.