Analysis of Tridiagonal Recurrence Relations in Continuum Approximation

Abstract

Transition from difference to differential equation allows solving tridiagonal recurrence relations, which appear, among other things, in analysis of the rotation of an overdamped Brownian particle subjected to a periodic force. Replacement of the discrete integers in the Fourier series by continuum is justified for large numbers, i. e. for small angles. For the simplest case of the sinusoidal force, our solution, indeed, coincides with one obtained by expanding the sin in the original Fokker-Planck equation (The Ornstein-Uhlenbeck limit). However, for slightly more complicate potential the expansion for small angles does not transform the appropriate Fokker-Planck equation into the soluble. At the same time, the method suggested allows solving the problem for all periodic potentials which have finite number of terms in their Fourier series such as sinm(θ ) or cosm (θ). Even and odd functions require slightly different analysis, and are considered separately.

Переход от разностного к дифференциальному уравнению позволяет решить тридиагональные рекуррентные соотношения, которые возникают, в частности, при анализе вращения броуновской частицы с трением при наличии периодической силы. Замена дискретных индексов в разложениях Фурье непрерывными оправдан для больших номеров, т. е. для малых углов. В простейшем случае синусоидальной силы наше решение действительно совпадает с решением, полученным путем разложения синуса в первоначальном уравнении Фоккера-Планка (предел Орнштейна-Уленбека). Однако уже в случае несколько более сложного потенциала разложение при малых углах не делает соответствующее уравнение Фоккера-Планка разрешимым. В то же время предлагаемый метод позволяет решить задачу для всех периодических потенциалов, для которых ряды Фурье содержат конечное число слагаемых типа sinm(θ ) или cosm (θ). Четные либо нечетные функции требуют несколько различного подхода и рассматриваются отдельно.

Перехід від різницевого до диференціального рівняння дозволяє вирішити тридіагональні рекурентні співвідношення, які виникають, зокрема, при аналізі обертання броунівської частинки з тертям у присутності періодичної сили. Заміна дискретних індексів у розкладанні Фур’є неперервними виправдана для великих номерів, тобто для малих кутів. У найпростішому випадку синусоїдальної сили наше рішення співпадає із рішенням, отриманим шляхом розкладання синуса у початковому рівнянні Фоккера-Планка (границя Орнштейна-Уленбека). Однак уже у випадку дещо складнішого потенціалу розкладання при малих кутах не робить відповідне рівняння Фоккера-Планка вирішуваним. Водночас запропонований метод дозволяє вирішити задачу для всіх періодичних потенціалів, для яких ряди Фур’є містять кінцеву кількість доданків, типу sinm(θ ) або cosm (θ). Парні чи непарні функції вимагають дещо іншого підходу і розглядаються окремо.