Quantum effects in an anharmonic crystal

Abstract

A model of quantum particles performing D -dimensional anharmonic oscillations around their equilibrium positions which form the d -dimensional simple cubic lattice Zd is considered. The model undergoes a structural phase transition when the fluctuations of displacements of particles become macroscopic. This phenomenon is described by susceptibilities depending on Matsubara frequencies ωn , n ∈ Z . We prove two theorems concerning the thermodynamic limits of these susceptibilities. The first theorem states that the susceptibilities with nonzero ωn remain bounded at all temperatures, which means that the macroscopic fluctuations in the model are always non-quantum. The second theorem gives a sufficient condition for the static susceptibility (i.e. corresponding to ωn = 0 ) to be bounded at all temperatures. This condition involves the particle mass, the anharmonicity parameters and the interaction intensity. The physical meaning of this result is that, for all D and all values of the temperature, strong quantum effects suppress critical points and the long range order. The proof is performed in the approach where the susceptibilities are represented as functional integrals. A brief description of the main features of this approach is delivered.

Розглядається модель квантових частинок, які виконують D -вимірні коливання довкола їх положень рівноваги, що утворюють d -вимірну просту кубічну ґратку Zd . Ця модель зазнає фазового переходу, коли флуктуації зміщень частинок стають макроскопічними. Таке явище описується сприйнятливостями, залежними від мацубарівських частот ωn , n є Z . Ми доводимо дві теореми, що описують термодинамічні властивості цих сприйнятливостей. Перша теорема стверджує, що сприйнятливості з ненульовими ωn залишаються обмеженими при всіх температурах, а це означає, що макроскопічні флуктуації в даній моделі є завжди неквантові. Друга теорема дає достатню умову на те, щоб і статична сприйнятливість (яка відповідає ωn = 0 ) теж була обмеженою при всіх температурах. Ця умова включає в себе масу частинки, параметри ангармонізму та інтенсивність взаємодії. Фізичний сенс цього результату полягає в тому, що для всіх D і для всіх значень температури сильні квантові ефекти унеможливлюють виникнення критичних точок і далекого порядку. Доведення проводиться в рамках підходу, у якому сприйнятливості представляються за допомогою функціональних інтегралів. Дається короткий опис головних аспектів цього підходу.