Перемещения точек поверхности упругого полупространства, вызванные мгновенным приложением осесимметричной нагрузки

Abstract

Рассматривается общий подход к решению осесимметричных задач мгновенного нагружения упругого полупространства, основанный на применении преобразования Лапласа по временной и преобразования Ханкеля по пространственной координате. Исходя из анализа функций-изображений, удалось представить перемещения на поверхности полупространства в виде кратных интегралов от функций действительных переменных. Детально исследованы частные типы нагрузки: сосредоточенная нагрузка (задача Лэмба), распределение Герца, а также нагрузка, возникающая под гладким плоским штампом в статической контактной задаче. Показано, что для любой нормальной распределенной нагрузки, приложенной мгновенно к границе полупространства, нормальные перемещения принимают свои статические значения сразу после прохождения через точку наблюдения волны Рэлея, порожденной в наиболее удаленной от нее точке приложения нагрузки. Также исследованы особенности, возникающие в поле перемещений на фронтах волн Рэлея, движущихся от края площадки нагружения. Полученные результаты дали возможность сделать выводы, которые будут полезными при рассмотрении нестационарных контактных задач.

Розглядається загальний підхід до розв'язку осесиметричних задач миттєвого навантаження пружного півпростору, який базується на застосуванні перетворення Лапласа по часовій і перетворення Ханкеля по просторовій координаті. Виходячи з аналізу функцій-зображень, вдалося представити переміщення на поверхні півпростору у вигляді кратних інтегралів від функцій дійсних змінних. Детально досліджено окремі типи навантажень: зосереджене навантаження (задача Лемба), розподіл Герца, а також навантаження, що виникає під гладким плоским штампом у статичній контактній задачі. Показано, що для будь-якого нормального розподіленого навантаження, прикладеного миттєво до границі півпростору, нормальні переміщення приймають свої статичні значення одразу після проходження через точку спостереженя хвилі Релея, породженої у найбільш віддаленій від неї точці прикладення навантаження. Також досліджено особливості, що виникають у полі переміщень на фронтах хвиль Релея, які рухаються від краю зони навантаження. Одержані результати дали можливість зробити висновки, які будуть корисними при розгляді нестаціонарних контактних задач.

There is considered a general approach to solution of axisymmetric problems on instant loading of elastic half-space. Mentioned approach is based on use of Laplas transform with respect to time and Hankel transform with respect to spatial coordinate. Originating from analysis of functions-images it became possible to represent the displacements on surface of half-space in form of multiple integrals from functions of real variables. The particular types of loads were investigated: point load (Lamb's problem), Hertz's distribution and the load arising under smooth plane stamp in static contact problem. It has been shown that for any normal distributed load instantly applicated to boundary of half-space the normal displacements in the point of observation receive their static values just after the moment when Raileygh's wave generated by the most distant point of application of the load passes. Also, the singularities arising in field of displacements on the fronts of Raileygh's waves moving from boundary of area of loading were investigated. Obtained results have given the possibility to make conclusions that will be useful when considering non-stationary contact problems.