http://dspace.nbuv.gov.ua:80/handle/123456789/114800 Tue, 14 Apr 2026 15:44:06 GMT 2026-04-14T15:44:06Z http://dspace.nbuv.gov.ua:80/bitstream/id/341597/ http://dspace.nbuv.gov.ua:80/handle/123456789/114800 http://dspace.nbuv.gov.ua:80/handle/123456789/119636 On matrices associated to prime factorization of odd integers Bier, T. In this paper we introduce in section 5 integral matrices M(n) for any factorization of an odd integer n into r distinct odd primes. The matrices appear in several versions according to a parameter ρ ϵ 2 [0, 1]; they have size 2r * 2r and their rank satisfies e.g. for ρ = 1/2 the inequalities of theorem 4: r + 1 ≤ rank(M(n)) ≤ 2r⁻¹+1; which are obtained using theorem 1 discussed separately in the first few sections. The cases ρ = 0, 1, 1/2 are analyzed in some detail, and various counterexamples for ρ != 0, 1, 1/2 are included. There are several main results, theorem 5 is a duality between the cases ρ = 0 and ρ = 1, and theorem 6 is a periodicity theorem. The most important result perhaps is theorem 8 (valid for ρ = 1/2 only) on the existence of odd squarefree integers n with r odd prime factors such that rank(M(n)) = r + 1 attains the lower bound shown previously.; В цiй роботi у параграфi 5 ми вводимо цiлочисельнi матрицi M(n) для довiльної факторизацiї непарного цiлого числа n на r рiзних непарних простих чисел. Матрицi мають декiлька версiй iндексованих параметром ρ ϵ 2 [0, 1], розмiром 2n * 2n, їх ранг задовiльняє, наприклад, для ρ = 1/2, нерiвнiсть з Теореми 4: r+1... , що одержується за допомогою Теореми 1, яка обговорюється окремо у перших параграфах. Випадки ρ = 0, 1, 1/2 аналiзуються бiльш детально, наводяться рiзноманiтнi приклади для ρ != 0, 1, 1/2. Подаємо ряд головних результатiв: Теорема 5, що описує дуальнiсть випадкiв ρ = 0 i ρ = 1, Теорема 6, що описує перiодичнiсть. Можливо найголовнiшою є Теорема 8 (дiйсна тiльки для ρ = 1/2) про iснування непарних, без квадратiв, цiлих чисел n з r непарними простими множниками, таких, що rank(M(n)) = r + 1, тобто досягає нижньої межi, згаданої вище. Tue, 01 Jan 2008 00:00:00 GMT http://dspace.nbuv.gov.ua:80/handle/123456789/119636 2008-01-01T00:00:00Z http://dspace.nbuv.gov.ua:80/handle/123456789/119599 3-rd Conference "Statistical Physics: Modern Trends and Applications" Tue, 01 Jan 2008 00:00:00 GMT http://dspace.nbuv.gov.ua:80/handle/123456789/119599 2008-01-01T00:00:00Z http://dspace.nbuv.gov.ua:80/handle/123456789/119598 IX Workshop and Competition for young scientists in the field of statistical physics and condensed matter theory Tue, 01 Jan 2008 00:00:00 GMT http://dspace.nbuv.gov.ua:80/handle/123456789/119598 2008-01-01T00:00:00Z http://dspace.nbuv.gov.ua:80/handle/123456789/119597 Author index of volume 11 (2008) Tue, 01 Jan 2008 00:00:00 GMT http://dspace.nbuv.gov.ua:80/handle/123456789/119597 2008-01-01T00:00:00Z