Український математичний журнал, 2006, № 02

Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. I

2006-01-01T00:00:00Z

Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. I Михайлец, В.А.; Мурач, А.А. Вивчаються уточнені шкали функціональних гільбертових просторів на Rn та гладких многовидах з краєм. Елементами цієї шкали є ізотропні простори Хермандера-Волевіча-Панеяха. Розроблено теорію еліптичних крайових задач у цих просторах.; We study improved scales of functional Hilbert spaces over Rn and smooth manifolds with boundary. The isotropic Hörmander-Volevich-Paneyakh spaces are elements of these scales. The theory of elliptic boundary-value problems in these spaces is developed.

Asymptotic behavior of eigenvalues and eigenfunctions of the Fourier problem in a thick multilevel junction

2006-01-01T00:00:00Z

Asymptotic behavior of eigenvalues and eigenfunctions of the Fourier problem in a thick multilevel junction Melnik, T.A. A spectral boundary-value problem is considered in a plane thick two-level junction Ωε, which is the union of a domain Ω₀ and a large number 2N of thin rods with thickness of order ε=O(N⁻¹). The thin rods are divided into two levels depending on their length. In addition, the thin rods from each level are ε-periodically alternated. The Fourier conditions are given on the lateral boundaries of the thin rods. The asymptotic behavior of the eigenvalues and eigenfunctions is investigated as ε→0, i.e., when the number of the thin rods infinitely increases and their thickness tends to zero. The Hausdorff convergence of the spectrum is proved as ε→0, the leading terms of asymptotics are constructed and the corresponding asymptotic estimates are justified for the eigenvalues and eigenfunctions.; Розглядається спектральна крайова задача у плоскому дворівнєвому з'єднанні Ωε, яке є об'єднанням області Ω₀ та великого числа 2N тонких стержнів товщиною порядку ε=O(N⁻¹). Тонкі стержні розділено на два рівні в залежності від їх довжини. Крім того, тонкі стержні з кожного рівня ε-періодично чергуються. На вертикальних сторонах тонких стержнів задано крайові умови Фур'є. Вивчено асимптотичну поведінку власних значень та власних функцій при ε→0, тобто коли число тонких стержнів необмежено зростає, а їх товщина прямує до нуля. Доведено хаусдорфову збіжність спектра при ε→0, побудовано перші члени асимптотики та обґрунтовано відповідні асимптотичні оцінки для власних значень та власних функцій.

Про аналітичність розв'язків 2b→ - параболічних систем

2006-01-01T00:00:00Z

Про аналітичність розв'язків 2b→ - параболічних систем Івасишен, С.Д.; Кондур, О.С. Доведено, що якщо коефіцієнти 2b→-параболічної системи допускають аналітичне продовження в комплексну область за просторовими змінними, то таку властивість мають фундаментальна матриця розв'язків задачі Коші та регулярні розв'язки системи.; It is proved that if the coefficients of a 2b→ -parabolic system admit analytic extension to a complex region in the space variables, then the fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem and regular solutions of the system also possess the same property.

Про поведінку на нескінченності орбіт рівномірно стійких півгруп

2006-01-01T00:00:00Z

Про поведінку на нескінченності орбіт рівномірно стійких півгруп Горбачук, В.І.; Горбачук, М.Л. Вивчається поведінка на нескінченності орбіт T(t)x,x∈B, рівномірно стійких обмежених аналітичних C0-півгруп {T(t)}t≥0 лінійних операторів у банаховому просторі B. Досліджується залежність між порядком прямування орбіти T(t)x до 0 при t→∞ степенем гладкості вектора x відносно оператора A−1 оберненого до генератора A півгрупи {T(t)}t≥0. Зокрема показано, що для такої півгрупи існують орбіти, що прямують до 0 на ∞ не повільніше, ніж e−atα, де a>0,0<α<π/(2(π−0)),θ — кут аналітичності {T(t)}t≥0, і сукупність цих орбіт є щільною у множині всіх орбіт.; For uniformly stable bounded analytic C0-semigroups {T(t)}t≥0 of linear operators in a Banach space B, we study the behavior of their orbits T(t)x,x∈B, at infinity. We also analyze the relationship between the order of approaching the orbit T(t)x to zero as t→∞ and the degree of smoothness of the vector x with respect to the operator A−1 inverse to the generator A of the semigroup {T(t)}t≥0. In particular, it is shown that, for this semigroup, there exist orbits approaching zero at infinity not slower than e−atα, where a>0,0<α<π/(2(π−0)),θ is the angle of analyticity of {T(t)}t≥0, and the collection of these orbits is dense in the set of all orbits.