http://dspace.nbuv.gov.ua:80/handle/123456789/145872 2026-04-18T23:17:08Z 2026-04-18T23:17:08Z Pastur, L. Shcherbina, M. http://dspace.nbuv.gov.ua:80/handle/123456789/145879 2019-02-02T23:23:18Z 2018-01-01T00:00:00Z

Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) Pastur, L.; Shcherbina, M. The paper is a continuation of work [15] in which the general setting for analogs of the Szegö theorem for ergodic operators was given and several interesting cases were considered. Here we extend the results of [15] to a wider class of test functions and symbols which determine the Szegö-type asymptotic formula for the one-dimensional Schrödinger operator with ergodic random potential. We show that in this case the subleading term of the formula is given by a Central Limit Theorem in the spectral context, hence the term is asymptotically proportional to L¹/², where L is the length of the interval to which the Schrödinger operator is initially restricted. This has to be compared with the classical Szegö formula, where the subleading term is bounded in L, L→∞. We prove an analog of standard Central Limit Theorem (the convergence of the probability of the corresponding event to the Gaussian Law) as well as an analog of the almost sure Central Limit Theorem (the convergence with probability 1 of the logarithmic means of the indicator of the corresponding event to the Gaussian Law). We illustrate our general results by establishing the asymptotic formula for the entanglement entropy of free disordered fermions for non-zero temperature.; Ця стаття є продовженням роботи [15], де було поставлено задачу про аналог теореми Сеге для ергодичних операторiв загального вигляду та розглянуто декiлька цiкавих випадкiв. У данiй статтi ми розповсюджуємо результати [15] на ширший клас тестових функцiй та символiв, що задають формули типу Сеге для одновимiрного оператора Шредiнгера з випадковим потенцiалом. Ми доводимо, що в цьому випадку член, що по порядку є наступним пiсля головного у формулi Сеге, вiдповiдає центральнiй граничнiй теоремi у спектральному контекстi, тобто є пропорцiйним LL¹/², де L є довжиною iнтервалу, на якому ми розглядаємо оператор Шредiнгера. Цей результат слiд порiвняти з класичною формулою Сеге, де вiдповiдний член є обмеженим за L, коли L→∞. Ми доводимо аналог стандартної центральної граничної теореми (тобто збiжнiсть ймовiрностi вiдповiдних подiй до гауссiвського закону), а також аналог майже напевно центральної граничної теореми (тобто збiжнiсть з ймовiрнiстю 1 логарифмiчного середнього iндикатора вiдповiдної подiї до гауссiвського закону). Як iлюстрацiю нашого загального методу.

2018-01-01T00:00:00Z König, Hermann Milman, Vitali http://dspace.nbuv.gov.ua:80/handle/123456789/145878 2019-02-02T23:23:09Z 2018-01-01T00:00:00Z

The Extended Leibniz Rule and Related Equations in the Space of Rapidly Decreasing Functions König, Hermann; Milman, Vitali We solve the extended Leibniz rule T(f•g)=Tf•Ag+Af•Tg for operators T and A in the space of rapidly decreasing functions in both cases of complex and real-valued functions.; Ми розв язуємо узагальнене правило Лейбниця T(f•g)=Tf•Ag+Af•Tg для операторiв T та A у просторi швидко спадних функцiй, як у випадку комплекснозначних функцiй, так i у випадку дiйснозначних функцiй.

2018-01-01T00:00:00Z Kotani, Shinichi http://dspace.nbuv.gov.ua:80/handle/123456789/145877 2019-02-02T23:23:04Z 2018-01-01T00:00:00Z

Construction of KdV Flow I. τ-Function via Weyl Function Kotani, Shinichi Sato introduced the τ-function to describe solutions to a wide class of completely integrable differential equations. Later Segal–Wilson represented it in terms of the relevant integral operators on Hardy space of the unit disc. This paper gives another representation of the τ -functions by the Weyl functions for 1d Schrödinger operators with real valued potentials, which will make it possible to extend the class of initial data for the KdV equation to more general one.; Для опису розв язкiв широкого класу цiлком iнтегровних диференцiальних операторiв Сато запровадив τ-функцiю. Пiзнiше Сегал та Вiлсон зобразили її в термiнах вiдповiдних iнтегральних операторiв на просторi Хардi на одиничному диску. У цiй роботi дано iнше подання τ-функцiї через функцiї Вейля для одновимiрних операторiв Шредiнгера з дiйсними потенцiалами, яке дає можливiсть розширити клас початкових даних рiвняння КдФ до бiльш загального класу.

2018-01-01T00:00:00Z Gorin, Vadim Sodin, Sasha http://dspace.nbuv.gov.ua:80/handle/123456789/145876 2019-02-02T23:23:03Z 2018-01-01T00:00:00Z

The KPZ Equation and Moments of Random Matrices Gorin, Vadim; Sodin, Sasha The logarithm of the diagonal matrix element of a high power of a random matrix converges to the Cole–Hopf solution of the Kardar–Parisi–Zhang equation in the sense of one-point distributions.; Логарифм дiагонального матричного елемента високого ступеня випадкової матрицi збiгається до розв язку Коле Гопфа рiвняння Кардара Парiсi Жанга в сенсi одноточкових розташувань.

2018-01-01T00:00:00Z