В работе рассматривается задача устойчивости нулевого решения автономной системы дифференциальных уравнений. Решена задача максимального улучшения функции со знакопостоянной производной, которое может позволить метод дополнительных функций. Получена теорема о построении функции со знакоопределенной производной либо со знакопостоянной производной, множество обращения которой в нуль является инвариантным. Доказана теорема о неустойчивости в случае существования знакопостоянной производной. Рассмотрены иллюстративные примеры.
У роботi розглядається задача стiйкостi нульового розв’язку автономної системи диференцiальних рiвнянь. Розв’язано задачу максимального полiпшення функцiї зi знакосталою похiдною, яке може дозволити метод додаткових функцiй. Отримано теорему про побудову функцiї зi знаковизначеною похiдною або зi знакопостiйною похiдною, множина обернення якої в нуль є iнварiантною. Доведено теорему про нестiйкiсть у випадку iснування знакопостiйної похiдної. Розглянуто iлюстративнi приклади.
In the paper, the problem of stability of the zero solution of an autonomous system of differential equations is considered. The problem of maximal improvement of a function with the derivative of constant sign is solved which the additional functions method can permit. The theorem on the construction of a function with definite derivative or with the derivative of constant sign is obtained for which the set of derivative’s zeros is invariant. The theorem of instability is proved for the case of the existance of a derivative of constant sign. Illustrative examples are considered.
