Nonlocal equations for the electromagnetic field in the inhomogeneous accelerating structures

Abstract

The procedure for obtaining a difference equation, the solution of which is the components of the electric (or magnetic) field at the chosen set of points in the volume of the resonator chain, was developed. We started with the wave equation with boundary conditions and obtained the difference equation without boundary conditions. Boundary conditions were included into the coefficients of the difference equation for the electric field. As the obtained equation connects the field values in different points (in general case, on an infinite set of points), the proposed procedure represents a nonlocal model for field description. Solutions of the difference equation for the electric field were analyzed. It was shown that they coincide with good accuracy with the ones that were obtained by direct summing of relevant series.

Розроблено процедуру отримання різницевого рівняння, вирішенням якого є складові електричного (або магнітного) поля в обраних точках резонаторного ланцюга зв’язаних резонаторів. Ми почали з хвильового рівняння з граничними умовами і отримали різницеве рівняння без граничних умов. Граничні умови були включені в коефіцієнти різницевого рівняння для електричного поля. Оскільки отримане рівняння пов’язує значення поля в різних точках (у загальному випадку на нескінченій множині точок), запропонована процедура являє собою нелокальну модель опису поля. Проаналізовано розв'язки різницевого рівняння для електричного поля. Показано, що вони з хорошою точністю співпадають з такими, які були отримані прямим сумуванням відповідних рядів.

Разработана процедура получения разностного уравнения, решением которого являются составляющие электрического (или магнитного) поля в избранных точках резонаторной цепи связанных резонаторов. Мы начали с волнового уравнения с граничными условиями и получили разностное уравнение без граничных условий. Граничные условия были включены в коэффициенты разностного уравнения для электрического поля. Поскольку полученное уравнение связывает значение поля в разных точках (в общем случае на бесконечном множестве точек), предложенная процедура представляет собой нелокальную модель описания поля. Проанализированы решения разностного уравнения для электрического поля. Показано, что они с хорошей точностью совпадают с решениями, которые были получены прямым суммированием cоответствующих рядов.