Determination of an exact solution to the integral Gelfand - Levitan - Marchenko equation for the Sturm - Liouville operators with the step-type potential

Abstract

A method for solving the integral Gelfand – Levitan – Marchenko (GLM) equation for the Sturm – Liouville operator with a step-type potential is obtained. The scattering function is found explicitly. An associated system of infinite recurrence equations is solved. The integral operator kernel is presented in an exact form using Bessel function. A series of new integral representations for Bessel functions is obtained for the first time.

Запропоновано спосiб розв’язання iнтегрального рiвняння Гельфанда – Левiтана – Марченка для оператора Штурма – Лiувiлля у випадку ступiнчастого потенцiала, заданого на додатнiй пiвосi або на всiй дiйснiй осi. Розв’язано (точно) асоцiйовану з задачею нескiнченну систему лiнiйних рекурентних рiвнянь. Отримано ядра iнтегральних операторiв у явному виглядi через функцiї Бесселя. Знайдено вперше ряд нових iнтегральних спiввiдношень для функцiй Бесселя.