Asymptotic behavior of eigenvalues and eigenfunctions of the Fourier problem in a thick multilevel junction

Abstract

A spectral boundary-value problem is considered in a plane thick two-level junction Ωε, which is the union of a domain Ω₀ and a large number 2N of thin rods with thickness of order ε=O(N⁻¹). The thin rods are divided into two levels depending on their length. In addition, the thin rods from each level are ε-periodically alternated. The Fourier conditions are given on the lateral boundaries of the thin rods. The asymptotic behavior of the eigenvalues and eigenfunctions is investigated as ε→0, i.e., when the number of the thin rods infinitely increases and their thickness tends to zero. The Hausdorff convergence of the spectrum is proved as ε→0, the leading terms of asymptotics are constructed and the corresponding asymptotic estimates are justified for the eigenvalues and eigenfunctions.

Розглядається спектральна крайова задача у плоскому дворівнєвому з'єднанні Ωε, яке є об'єднанням області Ω₀ та великого числа 2N тонких стержнів товщиною порядку ε=O(N⁻¹). Тонкі стержні розділено на два рівні в залежності від їх довжини. Крім того, тонкі стержні з кожного рівня ε-періодично чергуються. На вертикальних сторонах тонких стержнів задано крайові умови Фур'є. Вивчено асимптотичну поведінку власних значень та власних функцій при ε→0, тобто коли число тонких стержнів необмежено зростає, а їх товщина прямує до нуля. Доведено хаусдорфову збіжність спектра при ε→0, побудовано перші члени асимптотики та обґрунтовано відповідні асимптотичні оцінки для власних значень та власних функцій.