Гомотопические типы правых стабилизаторов и орбит гладких функций на поверхностях

Abstract

Нехай M — гладка зв’язна компактна поверхня i P — числова пряма R або коло S1. Для пiдмножини X⊂M позначимо через D(M,X) групу дифеоморфiзмiв M, нерухомих на X. У данiй статтi розглядається спецiальний клас F гладких вiдображень f:M→P з iзольованими критичними точками, який мiстить усi вiдображення Морса. Для кожного f∈F визначаються деякi пiдмноговиди X⊂M, природним чином „адаптованi” з f, та вивчається права дiя групи D(M,X) на C∞(M,P). Основнi результати описують гомотопiчнi типи компонент зв’язностi стабiлiзаторiв S(f) та орбiт O(f) вiдображень f∈F i узагальнюють результати попереднiх робiт автора.

Let M be a connected smooth compact surface and let P be either the number line R or a circle S 1. For a subset X ⊂ M, by D(M, X) we denote a group of diffeomorphisms of M fixed on X. We consider a special class F of smooth mappings f:M → P with isolated singularities containing all Morse mappings. For each mapping f ∈ F, we consider certain submanifolds X ⊂ M “adapted” to f in a natural way and study the right action of the group D(M, X) on C ∞( M, P). The main results of the paper describe the homotopic types of the connected components of stabilizers S(f) and the orbits O(f) of all mappings f ∈ F and generalize the results of the author in this field obtained earlier.