Властивості розподілу випадкової величини, L-символи якої в зображенні знакододатним рядом Люрота, є незалежними

Abstract

В роботi вивчається лебегiвська структура, тополого-метричнi та фрактальнi властивостi розподiлiв випадкових величин, представлених рядами Люрота (L-зображеннями) за розподiлами своїх цифр L-зображення i навпаки. Доведено, що випадкова величина з незалежними L-символами має або чисто дискретний, або чисто абсолютно неперервний, або чисто сингулярно неперервний розподiл; знайдено критерi належностi кожному з чистих типiв. Доведено, що переважна бiльшiсть цих розподiлiв є сингулярними, тобто зосередженими на множинах нульової мiри Лебега (фракталах). Описано тополого-метричнi властивостi спектрiв розподiлiв випадкових величин, та властивостi х функцiй розподiлу.

В работе изучается лебеговская структура, тополого-метрические и фрактальные свойства распределений случайных величин, представленных рядами Люрота (L-представлениями) по делениям своих цифр L-представления и наоборот. Доказано, что случайная величина с независимыми L-символами имеет или чисто дискретное, или чисто абсолютно непрерывное, или чисто сингулярно непрерывное распределение; найдены критерии принадлежности каждому из чистых типов. Доказано, что подавляющее большинство этих распределений является сингулярными, то есть сосредоточенными на множествах нулевой меры Лебега (фракталах). Описаны тополого-метрические свойства спектров распределений случайных величин, и свойства их функций распределения.

In the paper we consider the distributions of random variables represented by the L¨uroth series (L-representation). We study Lebesgue structure, topological, metric and fractal properties of these random variables depending on distributions of their “digits” of the L-representation, and vice versa. We prove that random variable with independent L-symbols has a pure discrete, pure absolutely continuous or pure singularly continuous distribution; the criteria (necessary and sufficient conditions) for random variable to be of each pure type of probability distributions are found. We prove that “overwhelming” majority of these probability distributions are singular, i.e., they are concentrated on sets of zero Lebesgue measure (fractals).We describe topological and metric properties of the spectra of distributions of random variables as well as properties of their probability distribution functions.